Для нахождения объема пирамиды с основанием в виде прямоугольного треугольника, нужно использовать формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h$

где $S_{\text{основания}}$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — высота пирамиды, то есть расстояние от вершины пирамиды до основания.

Шаг 1: Находим параметры прямоугольного треугольника

Из условия известно, что основание пирамиды — это прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $C = 90^\circ$, длина катета $BC = 6$ см, и угол $B = 60^\circ$.

1. Найдем длину катета $AB$: В прямоугольном треугольнике, зная угол $B = 60^\circ$, можно применить тригонометрические функции:

   $\tan(60^\circ) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC}$

   $\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} = \frac{AC}{6} \quad \Rightarrow \quad AC = 6\sqrt{3} \, \text{см}$

2. Найдем гипотенузу $AB$: Используем теорему Пифагора для треугольника $ABC$:

   $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}$

Шаг 2: Находим площадь основания

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2$

Шаг 3: Определяем высоту пирамиды

Из условия задачи известно, что грань $АРС$ перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к основанию под углом 45°. Таким образом, высота пирамиды будет равна длине отрезка, перпендикулярного к основанию.

Так как угол наклона других граней к плоскости основания составляет $45^\circ$, это значит, что высота пирамиды будет такой же, как длина отрезков наклонных граней, то есть:

$h = 6 \, \text{см}$

Шаг 4: Вычисляем объем пирамиды

Теперь можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 108\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \, \text{см}^3$

Ответ:

Объем пирамиды равен $36\sqrt{3} \, \text{см}^3$, что примерно равно $62,35 \, \text{см}^3$.

Есть ли что-то, что нужно уточнить или дополнить? Вот пять вопросов, которые могут помочь в дальнейшем изучении:

1. Как изменится объем пирамиды, если угол наклона граней изменится на 30°?
2. Почему для вычисления высоты пирамиды мы использовали длину наклонных граней?
3. Какие еще методы существуют для нахождения объема пирамиды с прямоугольным основанием?
4. Как можно было бы найти длины сторон прямоугольного треугольника, если бы нам был дан угол между катетами, а не один из углов?
5. Как влияет изменение длины катетов основания на объем пирамиды?

Совет: В таких задачах всегда полезно сначала нарисовать схему, чтобы лучше понять геометрические отношения между элементами пирамиды.