La afirmación propuesta requiere verificar la igualdad entre la derivada del resultado dado y la función original dentro de la integral. Vamos a analizar cada término para determinar si la afirmación es verdadera o falsa.

La integral que se nos da es: $\int \left( \frac{\sqrt{x} + 8x - 1}{x} - 5e^{x^2} + 7 + \frac{4\pi}{x\sqrt{x^2 - 121}} \right) dx$

Y el resultado dado es: $2\sqrt{x} - 8x + \ln|x| - 5\sqrt{e^7} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) + \frac{4\pi}{11} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) + C$

Paso 1: Diferenciación del resultado dado

Vamos a diferenciar el resultado propuesto término por término:

1. Primer término: $\frac{d}{dx} \left( 2\sqrt{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( 2x^{1/2} \right) = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. Segundo término: $\frac{d}{dx} \left( -8x \right) = -8$

3. Tercer término: $\frac{d}{dx} \left( \ln|x| \right) = \frac{1}{x}$

4. Cuarto término: $\frac{d}{dx} \left( -5\sqrt{e^7} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) \right)$

   • Usamos la regla de la cadena para derivar $\arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right)$: $\frac{d}{dx} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) = \frac{1}{1 + \left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{2\sqrt{7x}}$ Luego, $\frac{d}{dx} \left( -5\sqrt{e^7} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) \right) = -\frac{5\sqrt{e^7}}{2\sqrt{7x}(x + 7)}$

5. Quinto término: $\frac{d}{dx} \left( \frac{4\pi}{11} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) \right)$

   • Usamos la derivada de la función arcsecante: $\frac{d}{dx} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) = \frac{1}{|x| \sqrt{\left(\frac{x}{11}\right)^2 - 1}} \cdot \frac{1}{11}$ Luego, $\frac{d}{dx} \left( \frac{4\pi}{11} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) \right) = \frac{4\pi}{11x \sqrt{\frac{x^2}{121} - 1}}$

Paso 2: Comparación con la función dentro de la integral

La función dentro de la integral debe ser igual a la derivada que obtuvimos. Sin embargo, al observar los términos obtenidos y compararlos con los de la función original, notamos que no hay coincidencia exacta. Por lo tanto, la afirmación es falsa.

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¿Te gustaría más detalles sobre los cálculos realizados o tienes alguna pregunta adicional?

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Consejo:

Al enfrentar una integral compleja, intenta derivar la supuesta solución para confirmar si corresponde a la función original. Esto puede ayudarte a identificar errores en el proceso de integración.