La afirmación de que el resultado de
∫(
x
−
−
√
+8x−1
x

−
5e
x
2
+7

+
4π
x
x
2
−121
−
−
−
−
−
−
−
√

)dx
es
2
x
1
2

−8x+ln|x|−
5e
7
–
√

arctan(
x
7
–
√

)+
4π
11

arcsec(
x
11

)+C
corresponde a

Seleccione una:
Verdadero
Falso

La afirmación propuesta requiere verificar la igualdad entre la derivada del resultado dado y la función original dentro de la integral. Vamos a analizar cada término para determinar si la afirmación es verdadera o falsa.

La integral que se nos da es:
\[
\int \left( \frac{\sqrt{x} + 8x - 1}{x} - 5e^{x^2} + 7 + \frac{4\pi}{x\sqrt{x^2 - 121}} \right) dx
\]

Y el resultado dado es:
\[
2\sqrt{x} - 8x + \ln|x| - 5\sqrt{e^7} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) + \frac{4\pi}{11} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) + C
\]

### Paso 1: Diferenciación del resultado dado

Vamos a diferenciar el resultado propuesto término por término:

1. **Primer término:** \( \frac{d}{dx} \left( 2\sqrt{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( 2x^{1/2} \right) = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}} \)
   
2. **Segundo término:** \( \frac{d}{dx} \left( -8x \right) = -8 \)
   
3. **Tercer término:** \( \frac{d}{dx} \left( \ln|x| \right) = \frac{1}{x} \)

4. **Cuarto término:** \( \frac{d}{dx} \left( -5\sqrt{e^7} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) \right) \)
   - Usamos la regla de la cadena para derivar \( \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) \):
     \[
     \frac{d}{dx} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) = \frac{1}{1 + \left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{2\sqrt{7x}}
     \]
     Luego,
     \[
     \frac{d}{dx} \left( -5\sqrt{e^7} \arctan\left(\sqrt{\frac{x}{7}}\right) \right) = -\frac{5\sqrt{e^7}}{2\sqrt{7x}(x + 7)}
     \]

5. **Quinto término:** \( \frac{d}{dx} \left( \frac{4\pi}{11} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) \right) \)
   - Usamos la derivada de la función arcsecante:
     \[
     \frac{d}{dx} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) = \frac{1}{|x| \sqrt{\left(\frac{x}{11}\right)^2 - 1}} \cdot \frac{1}{11}
     \]
     Luego,
     \[
     \frac{d}{dx} \left( \frac{4\pi}{11} \text{arcsec}\left(\frac{x}{11}\right) \right) = \frac{4\pi}{11x \sqrt{\frac{x^2}{121} - 1}}
     \]

### Paso 2: Comparación con la función dentro de la integral

La función dentro de la integral debe ser igual a la derivada que obtuvimos. Sin embargo, al observar los términos obtenidos y compararlos con los de la función original, notamos que no hay coincidencia exacta. Por lo tanto, la afirmación **es falsa**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre los cálculos realizados o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la función arcsecante en general?
2. ¿Qué técnica se usa para derivar una función que incluye la arctan?
3. ¿Qué reglas de derivación son aplicables a las funciones de exponente fraccionario?
4. ¿Por qué es importante verificar las integrales comparando con la derivada?
5. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones compuestas?
6. ¿Cuáles son las diferencias entre las funciones arcsecante y arccoseno?
7. ¿Qué pasos seguir para integrar funciones que involucran logaritmos?
8. ¿Cómo se puede verificar si un resultado integral es correcto?

### Consejo:
Al enfrentar una integral compleja, intenta derivar la supuesta solución para confirmar si corresponde a la función original. Esto puede ayudarte a identificar errores en el proceso de integración.

Explore the verification process of a complex integral result through detailed differentiation and comparison with the original function. This problem involves integral calculus, derivatives, and specific trigonometric functions.

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