Давайте рассмотрим каждое из утверждений по очереди и выясним, какие из них верные.

1. $\int \cos(3x) \, dx = \cos(3x)$

   Это неверное утверждение. При интегрировании функции $\cos(3x)$ по $x$ необходимо учесть множитель $3$ в аргументе. Правильный результат будет: $\int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) + C$ где $C$ — произвольная постоянная.

2. $\int 2e^x \, dx = 2\int e^x \, dx$

   Это верное утверждение. Мы можем вынести константу $2$ из-под знака интеграла: $\int 2e^x \, dx = 2 \int e^x \, dx = 2e^x + C$

3. $\int (x^2 - 6x) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 6x \, dx$

   Это верное утверждение. Интеграл от разности функций можно разложить на разность интегралов этих функций: $\int (x^2 - 6x) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 6x \, dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + C$

4. $(\int \tan(4x) \, dx)' = \tan(4x) + C$

   Это неверное утверждение. Производная интеграла функции $\tan(4x)$ должна вернуть саму функцию, умноженную на производную её аргумента. Правильный результат: $(\int \tan(4x) \, dx)' = \tan(4x) \cdot 4 = 4 \cdot \sec^2(4x)$

5. $\frac{d}{dx} \left( \int \ln(x) \, dx \right) = \ln(x)$

   Это неверное утверждение. В действительности, производная от интеграла $\int \ln(x) \, dx$ возвращает саму функцию под интегралом, умноженную на её производную. Однако мы должны помнить, что интеграл от $\ln(x)$ имеет вид: $\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C$ Поэтому производная этого выражения будет: $\frac{d}{dx} \left( x \ln(x) - x + C \right) = \ln(x)$ Таким образом, утверждение верное.

Резюме:

• Верные утверждения: 2, 3, 5.
• Неверные утверждения: 1, 4.

---

Если хотите узнать подробности решения или есть другие вопросы, не стесняйтесь задавать!

Расширенные вопросы:

1. Почему интеграл от $\cos(3x)$ даёт $\frac{1}{3}\sin(3x)$?
2. Как будет выглядеть интеграл от $\tan(4x)$?
3. Что такое интегрирование с учетом множителей в аргументе функции?
4. Почему производная интеграла функции $\ln(x)$ даёт именно $\ln(x)$, а не саму функцию в исходной форме?
5. Как обрабатывать переменные множители при интегрировании?

Совет: При интегрировании всегда помните о необходимости применения множителей, которые могут появляться из-за производных сложных функций (например, $\cos(3x)$ или $\tan(4x)$).