https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17272610746521bi2hbyq.jpg

У задачі дано паралелограм \( OABC \), де вектори \( \overrightarrow{OA} = \vec{a} \) та \( \overrightarrow{OB} = \vec{b} \). Необхідно виразити через вектори \( \vec{a} \) та \( \vec{b} \) такі вектори: \( \overrightarrow{MO}, \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB} \) та \( \overrightarrow{MC} \), де точка \( M \) — це точка перетину діагоналей.

### Пояснення:

1. **Точка перетину діагоналей** \( M \) у паралелограмі ділить кожну діагональ навпіл. 
   - Оскільки діагоналі діляться навпіл, точка \( M \) буде серединою відрізка між точками \( O \) та \( C \), а також між точками \( A \) та \( B \).
   - Вектор \( \overrightarrow{OC} \) можна знайти як суму векторів \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \vec{a} + \vec{b} \), тому \( M \) є серединою вектора \( \overrightarrow{OC} \).

2. **Вирази для векторів через \( \vec{a} \) та \( \vec{b} \)**:

   - \( \overrightarrow{MO} = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \), оскільки \( M \) — середина вектора \( \overrightarrow{OC} \), а отже, від точки \( M \) до \( O \) буде половина вектора \( \overrightarrow{OC} \), взята з протилежним знаком.
   - \( \overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \), бо точка \( M \) ділить вектор \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a} \) навпіл.
   - \( \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} \), оскільки це половина вектора \( \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \).
   - \( \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \), бо \( M \) є серединою діагоналі \( OC \).

### Відповідь:
- \( \overrightarrow{MO} = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \)
- \( \overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b}) \)
- \( \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a}) \)
- \( \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \)

Чи бажаєте більш детального пояснення або маєте запитання?

### 5 додаткових запитань:
1. Як вплине зміна векторів \( \vec{a} \) і \( \vec{b} \) на розташування точки \( M \)?
2. Які інші властивості паралелограмів можна використати для знаходження точок перетину?
3. Як можна знайти координати точки \( M \), якщо відомі координати точок \( O \), \( A \), \( B \) і \( C \)?
4. Як виглядали б рівняння для векторів у випадку трикутника замість паралелограма?
5. Яким чином можна використати теорему про медіани для розв’язку подібних задач?

### Порада:
Паралелограми завжди мають властивість, що їх діагоналі перетинаються та діляться навпіл. Це можна використовувати як ключовий момент у багатьох задачах з векторами.

У паралелограмі OABC задані вектори OА = a та ОB = b. Вирахувати через a і b вектори МО, МA, МB та МC, де M — точка перетину діагоналей.

Learn how to express vectors MO, MA, MB, and MC in terms of vectors a and b, where M is the intersection point of diagonals in parallelogram OABC. This problem explores vector algebra and geometry, suitable for Grade 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation