У задачі дано паралелограм $OABC$, де вектори $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ та $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Необхідно виразити через вектори $\vec{a}$ та $\vec{b}$ такі вектори: $\overrightarrow{MO}, \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}$ та $\overrightarrow{MC}$, де точка $M$ — це точка перетину діагоналей.

Пояснення:

1. Точка перетину діагоналей $M$ у паралелограмі ділить кожну діагональ навпіл.

   • Оскільки діагоналі діляться навпіл, точка $M$ буде серединою відрізка між точками $O$ та $C$, а також між точками $A$ та $B$.
   • Вектор $\overrightarrow{OC}$ можна знайти як суму векторів $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \vec{a} + \vec{b}$, тому $M$ є серединою вектора $\overrightarrow{OC}$.

2. Вирази для векторів через $\vec{a}$ та $\vec{b}$:

   • $\overrightarrow{MO} = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$, оскільки $M$ — середина вектора $\overrightarrow{OC}$, а отже, від точки $M$ до $O$ буде половина вектора $\overrightarrow{OC}$, взята з протилежним знаком.
   • $\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$, бо точка $M$ ділить вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a}$ навпіл.
   • $\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}$, оскільки це половина вектора $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$.
   • $\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$, бо $M$ є серединою діагоналі $OC$.

Відповідь:

• $\overrightarrow{MO} = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$
• $\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$
• $\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})$
• $\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$

Чи бажаєте більш детального пояснення або маєте запитання?

5 додаткових запитань:

1. Як вплине зміна векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ на розташування точки $M$?
2. Які інші властивості паралелограмів можна використати для знаходження точок перетину?
3. Як можна знайти координати точки $M$, якщо відомі координати точок $O$, $A$, $B$ і $C$?
4. Як виглядали б рівняння для векторів у випадку трикутника замість паралелограма?
5. Яким чином можна використати теорему про медіани для розв’язку подібних задач?

Порада:

Паралелограми завжди мають властивість, що їх діагоналі перетинаються та діляться навпіл. Це можна використовувати як ключовий момент у багатьох задачах з векторами.