https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17272620951312luoz77s.jpg

Давайте розв'яжемо цю задачу поетапно.

### Умова задачі:
У паралелограмі \( OABC \) задано вектори \( \overrightarrow{OA} = \vec{a} \) та \( \overrightarrow{OB} = \vec{b} \). Потрібно виразити через вектори \( \vec{a} \) і \( \vec{b} \) наступні вектори: 
- \( \overrightarrow{MO} \),
- \( \overrightarrow{MA} \),
- \( \overrightarrow{MB} \),
- \( \overrightarrow{MC} \),

де \( M \) — це точка перетину діагоналей паралелограма.

### Розв'язок:

1. **Точка перетину діагоналей \( M \)** в паралелограмі є серединою кожної з діагоналей, тобто для діагоналей \( \overrightarrow{AC} \) і \( \overrightarrow{OB} \) точка \( M \) ділить діагоналі навпіл.

2. Вектор \( \overrightarrow{OC} \) можна виразити через \( \vec{a} \) і \( \vec{b} \), оскільки \( C \) є вершиною паралелограма, і ми знаємо, що в паралелограмі \( \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \), тобто
   \[
   \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b}.
   \]

3. **Координати точки \( M \)**. Точка \( M \) є серединою діагоналей, тому її положення є середнім арифметичним координат векторів:
   \[
   \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}.
   \]

4. **Вектори**:
   - \( \overrightarrow{MO} = -\overrightarrow{OM} = -\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \),
   - \( \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM} = \vec{a} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} - \vec{b}}{2} \),
   - \( \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM} = \vec{b} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{b} - \vec{a}}{2} \),
   - \( \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM} = (\vec{a} + \vec{b}) - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \).

### Відповідь:
\[
\overrightarrow{MO} = -\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}, \quad
\overrightarrow{MA} = \frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}, \quad
\overrightarrow{MB} = \frac{\vec{b} - \vec{a}}{2}, \quad
\overrightarrow{MC} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}.
\]

### Пояснення:
- \( M \) є серединою діагоналей, тому всі вектори відносно точки \( M \) є середніми арифметичними відповідних координат векторів.
  
Чи потрібні вам додаткові пояснення або є запитання?

### Додаткові запитання:
1. Як зміниться рішення, якщо паралелограм буде деформований (ромб або прямокутник)?
2. Як можна перевірити правильність виразу для вектора \( \overrightarrow{MO} \)?
3. Чи можна застосувати цей підхід для довільних чотирикутників?
4. Як пов'язані компоненти векторів у випадку ортогонального паралелограма?
5. Який геометричний сенс мають вектори \( \overrightarrow{MO} \), \( \overrightarrow{MA} \) тощо?

### Порада:
Для подібних задач завжди корисно будувати допоміжні зображення для наочного розуміння геометрії фігури та взаємодії векторів.

У паралелограмі OABC задані вектори OA = a і OB = b. Визначити вектори MO, MA, MB та MC через a і b, де M — точка перетину діагоналей.

Solve a vector algebra problem involving a parallelogram OABC with given vectors OA = a and OB = b. Learn how to express vectors MO, MA, MB, and MC through a and b, where M is the intersection of the diagonals. This solution covers key concepts of vector operations and geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation