Math Problem Statement
В параллелограмме АBCD точка К принадлежит ВС и ВК:КС=2:3, точка L принадлежит CD и CL:LD= 5:3. Выразите вектор LK через неколлинеарные векторы AВ и AD.
Solution
Для решения задачи выразим вектор через векторы и , используя координатное представление и разложение векторов в терминах этих базовых векторов.
Шаг 1: Вектор на отрезке
Сначала выразим точку , которая делит отрезок в отношении . Это означает, что точка делит отрезок на две части, в которых длина в два раза больше длины . Векторное выражение для точки :
Используем выражение для через и , так как параллелограмм дает .
Шаг 2: Вектор на отрезке
Теперь выразим точку , которая делит отрезок в отношении . Это аналогично разбиению отрезка в пропорции. Вектор для точки :
Подставим :
Теперь упростим:
Шаг 3: Вектор
Теперь, чтобы найти вектор , нам нужно вычислить разницу :
Раскроем скобки:
Теперь соберем подобные члены:
Для упрощения вычитаем дроби:
Подставляем все в выражение для :
Теперь выразим через и используя параллелограмм: .
Подставим это:
Раскроем скобки:
Теперь собираем подобные члены:
Преобразуем дроби:
Таким образом, окончательное выражение для вектора :
Ответ:
Если есть вопросы или хотите уточнить детали, дайте знать!
Дополнительные вопросы:
- Как найти проекцию вектора на другой вектор?
- В чем разница между векторами на параллельных и непараллельных отрезках?
- Что такое векторная сумма и как она используется в геометрии?
- Как выразить вектор на произвольном отрезке через два другие вектора?
- Что такое отношения векторов и как они влияют на геометрические построения?
Совет: Для сложных задач с векторами удобно использовать координатное представление, что позволяет легче работать с операциями сложения и умножения.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Vector Algebra
Parallel Vectors
Section Formula
Formulas
Section formula: \( \vec{P} = \frac{m\vec{B} + n\vec{C}}{m+n} \) for dividing line segment BC in the ratio m:n.
Vector subtraction: \( \vec{LK} = \vec{L} - \vec{K} \).
Vector representation in a parallelogram: \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{D} \), \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{D} \).
Theorems
Section Theorem
Vector Decomposition Theorem
Suitable Grade Level
Grades 9-11
Related Recommendation
Find the Position Vector of L in Triangle OAB and Parallelogram OALK
Find Coordinates of Vertex C and Projection of Vector BC on CD
Finding Coordinates of Point C in Parallelogram ABCD Using Vector Equations
Find the Coordinates of a Point in a Parallelogram
Find Lengths AM and BN in a Parallelogram Using Section and Distance Formula