Math Problem Statement

В параллелограмме АBCD точка К принадлежит ВС и ВК:КС=2:3, точка L принадлежит CD и CL:LD= 5:3. Выразите вектор LK через неколлинеарные векторы AВ и AD.

Solution

Для решения задачи выразим вектор LK\vec{LK} через векторы AB\vec{AB} и AD\vec{AD}, используя координатное представление и разложение векторов в терминах этих базовых векторов.

Шаг 1: Вектор K\vec{K} на отрезке BCBC

Сначала выразим точку KK, которая делит отрезок BCBC в отношении 2:32:3. Это означает, что точка KK делит отрезок BCBC на две части, в которых длина BKBK в два раза больше длины KCKC. Векторное выражение для точки KK:

K=35B+25C\vec{K} = \frac{3}{5} \vec{B} + \frac{2}{5} \vec{C}

Используем выражение для C\vec{C} через A\vec{A} и D\vec{D}, так как параллелограмм ABCDABCD дает C=A+D\vec{C} = \vec{A} + \vec{D}.

K=35B+25(A+D)\vec{K} = \frac{3}{5} \vec{B} + \frac{2}{5} (\vec{A} + \vec{D})

Шаг 2: Вектор L\vec{L} на отрезке CDCD

Теперь выразим точку LL, которая делит отрезок CDCD в отношении 5:35:3. Это аналогично разбиению отрезка в пропорции. Вектор для точки LL:

L=38C+58D\vec{L} = \frac{3}{8} \vec{C} + \frac{5}{8} \vec{D}

Подставим C=A+D\vec{C} = \vec{A} + \vec{D}:

L=38(A+D)+58D\vec{L} = \frac{3}{8} (\vec{A} + \vec{D}) + \frac{5}{8} \vec{D}

Теперь упростим:

L=38A+(38+58)D=38A+D\vec{L} = \frac{3}{8} \vec{A} + \left(\frac{3}{8} + \frac{5}{8}\right) \vec{D} = \frac{3}{8} \vec{A} + \vec{D}

Шаг 3: Вектор LK\vec{LK}

Теперь, чтобы найти вектор LK\vec{LK}, нам нужно вычислить разницу LK\vec{L} - \vec{K}:

LK=(38A+D)(35B+25(A+D))\vec{LK} = \left( \frac{3}{8} \vec{A} + \vec{D} \right) - \left( \frac{3}{5} \vec{B} + \frac{2}{5} (\vec{A} + \vec{D}) \right)

Раскроем скобки:

LK=38A+D35B25A25D\vec{LK} = \frac{3}{8} \vec{A} + \vec{D} - \frac{3}{5} \vec{B} - \frac{2}{5} \vec{A} - \frac{2}{5} \vec{D}

Теперь соберем подобные члены:

LK=(3825)A+(125)D35B\vec{LK} = \left( \frac{3}{8} - \frac{2}{5} \right) \vec{A} + \left( 1 - \frac{2}{5} \right) \vec{D} - \frac{3}{5} \vec{B}

Для упрощения вычитаем дроби:

3825=15401640=140\frac{3}{8} - \frac{2}{5} = \frac{15}{40} - \frac{16}{40} = -\frac{1}{40}

125=351 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

Подставляем все в выражение для LK\vec{LK}:

LK=140A+35D35B\vec{LK} = -\frac{1}{40} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{D} - \frac{3}{5} \vec{B}

Теперь выразим B\vec{B} через A\vec{A} и D\vec{D} используя параллелограмм: B=A+D\vec{B} = \vec{A} + \vec{D}.

Подставим это:

LK=140A+35D35(A+D)\vec{LK} = -\frac{1}{40} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{D} - \frac{3}{5} (\vec{A} + \vec{D})

Раскроем скобки:

LK=140A+35D35A35D\vec{LK} = -\frac{1}{40} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{D} - \frac{3}{5} \vec{A} - \frac{3}{5} \vec{D}

Теперь собираем подобные члены:

LK=(14035)A+(3535)D\vec{LK} = \left( -\frac{1}{40} - \frac{3}{5} \right) \vec{A} + \left( \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \right) \vec{D}

Преобразуем дроби:

14035=1402440=2540=58-\frac{1}{40} - \frac{3}{5} = -\frac{1}{40} - \frac{24}{40} = -\frac{25}{40} = -\frac{5}{8}

Таким образом, окончательное выражение для вектора LK\vec{LK}:

LK=58A\vec{LK} = -\frac{5}{8} \vec{A}

Ответ:

LK=58AB+35AD\boxed{\vec{LK} = -\frac{5}{8} \vec{AB} + \frac{3}{5} \vec{AD}}


Если есть вопросы или хотите уточнить детали, дайте знать!

Дополнительные вопросы:

  1. Как найти проекцию вектора на другой вектор?
  2. В чем разница между векторами на параллельных и непараллельных отрезках?
  3. Что такое векторная сумма и как она используется в геометрии?
  4. Как выразить вектор на произвольном отрезке через два другие вектора?
  5. Что такое отношения векторов и как они влияют на геометрические построения?

Совет: Для сложных задач с векторами удобно использовать координатное представление, что позволяет легче работать с операциями сложения и умножения.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Algebra
Parallel Vectors
Section Formula

Formulas

Section formula: \( \vec{P} = \frac{m\vec{B} + n\vec{C}}{m+n} \) for dividing line segment BC in the ratio m:n.
Vector subtraction: \( \vec{LK} = \vec{L} - \vec{K} \).
Vector representation in a parallelogram: \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{D} \), \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{D} \).

Theorems

Section Theorem
Vector Decomposition Theorem

Suitable Grade Level

Grades 9-11