zámítsa ki az⃗a vektor⃗ b vektorral párhuzamos (tangenciális) és mer®leges (normális) komponens vektorát!
Jelölések a párhuzamos komponensre:⃗a b ≡⃗a t ≡⃗a ∥ ≡ proj⃗ b⃗a , valamint a mer®legesre:⃗a n ≡⃗a ⊥. Adja
meg a tangenciális komponenst⃗ b, valamint⃗e b (⃗b irányú egységvektor) számszorosaként is!

Az adott probléma célja az \(\vec{a}\) vektornak a \(\vec{b}\) vektorral párhuzamos (tangenciális) és merőleges (normális) komponensének kiszámítása. Kezdjük az alapvető vektorműveletekkel.

### 1. Párhuzamos komponens (Tangenciális komponens):

A \(\vec{a}\) vektornak a \(\vec{b}\)-vel párhuzamos komponense, amit \(\vec{a}_t\), \(\vec{a}_{\parallel}\), vagy \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}\)-nak jelölünk, az alábbi képlettel számítható:

\[
\vec{a}_{\parallel} = \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}
\]

Ez a képlet azt adja meg, hogy a \(\vec{a}\) vektor mennyire vetül a \(\vec{b}\) vektor irányába. A vektoriális szorzat \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) a két vektor skaláris szorzatát jelenti.

### 2. Merőleges komponens (Normális komponens):

A \(\vec{a}\) vektor \(\vec{b}\)-re merőleges komponense, amit \(\vec{a}_n\) vagy \(\vec{a}_{\perp}\)-ként jelölünk, a következő módon számítható:

\[
\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \vec{a}_{\parallel}
\]

Tehát a \(\vec{a}\) normális komponense úgy kapjuk meg, hogy a teljes \(\vec{a}\) vektorból kivonjuk a \(\vec{a}\)-nak a \(\vec{b}\)-vel párhuzamos részét.

### 3. Egységvektor formájában:

Az egységvektort \(\vec{b}\) irányába úgy kapjuk meg, hogy a \(\vec{b}\) vektort normáljuk, azaz osztjuk a nagyságával:

\[
\vec{e}_{\vec{b}} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}
\]

Ekkor a \(\vec{a}_{\parallel}\) vektor az \(\vec{b}\) irányú egységvektor számszorosaként így írható fel:

\[
\vec{a}_{\parallel} = (\vec{a} \cdot \vec{e}_{\vec{b}}) \cdot \vec{e}_{\vec{b}}
\]

Ez a kifejezés azt jelenti, hogy a \(\vec{a}\)-nak a \(\vec{b}\) irányába eső része az \(\vec{e}_{\vec{b}}\) (egységvektor) skaláris szorzataként adható meg.

### Összefoglalás:
- A párhuzamos komponens:
  \[
  \vec{a}_{\parallel} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}
  \]
- A merőleges komponens:
  \[
  \vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \vec{a}_{\parallel}
  \]
- Egységvektor formájában:
  \[
  \vec{a}_{\parallel} = (\vec{a} \cdot \vec{e}_{\vec{b}}) \cdot \vec{e}_{\vec{b}}
  \]

Ha konkrét értékek vannak, számításokkal is megadhatjuk a komponenseket. Van-e konkrét érték a \(\vec{a}\) és \(\vec{b}\) vektorokra?

---

### Kapcsolódó kérdések:
1. Hogyan számítjuk ki két vektor közötti szöget?
2. Mi a különbség a skaláris és vektoriális szorzat között?
3. Hogyan lehet kiszámítani a vektor nagyságát?
4. Hogyan ábrázolható a tangens és normális komponens egy grafikonon?
5. Mi a geometriai jelentése a vektor vetítésének?

### Tipp:
A vektor vetítés geometriai jelentése a \(\vec{a}\) és \(\vec{b}\) közötti szögből származik: a vetület a \(\vec{a}\)-nak a \(\vec{b}\) irányú része.

Zámítsa ki az⃗a vektor⃗ b vektorral párhuzamos (tangenciális) és merőleges (normális) komponens vektorát! Jelölések a párhuzamos komponensre:⃗a b ≡⃗a t ≡⃗a ∥ ≡ proj⃗ b⃗a , valamint a merőlegesre:⃗a n ≡⃗a ⊥. Adja meg a tangenciális komponenst⃗ b, valamint⃗e b (⃗b irányú egységvektor) számszorosaként is!

Learn how to calculate the tangential (parallel) and normal (perpendicular) components of vector a with respect to vector b. This tutorial covers key concepts like vector projection, unit vectors, and how to express the components using dot products. Suitable for undergraduate students studying linear algebra or physics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation