Az adott probléma célja az $\vec{a}$ vektornak a $\vec{b}$ vektorral párhuzamos (tangenciális) és merőleges (normális) komponensének kiszámítása. Kezdjük az alapvető vektorműveletekkel.

1. Párhuzamos komponens (Tangenciális komponens):

A $\vec{a}$ vektornak a $\vec{b}$-vel párhuzamos komponense, amit $\vec{a}_t$, $\vec{a}_{\parallel}$, vagy $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}$-nak jelölünk, az alábbi képlettel számítható:

$\vec{a}_{\parallel} = \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$

Ez a képlet azt adja meg, hogy a $\vec{a}$ vektor mennyire vetül a $\vec{b}$ vektor irányába. A vektoriális szorzat $\vec{a} \cdot \vec{b}$ a két vektor skaláris szorzatát jelenti.

2. Merőleges komponens (Normális komponens):

A $\vec{a}$ vektor $\vec{b}$-re merőleges komponense, amit $\vec{a}_n$ vagy $\vec{a}_{\perp}$-ként jelölünk, a következő módon számítható:

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \vec{a}_{\parallel}$

Tehát a $\vec{a}$ normális komponense úgy kapjuk meg, hogy a teljes $\vec{a}$ vektorból kivonjuk a $\vec{a}$-nak a $\vec{b}$-vel párhuzamos részét.

3. Egységvektor formájában:

Az egységvektort $\vec{b}$ irányába úgy kapjuk meg, hogy a $\vec{b}$ vektort normáljuk, azaz osztjuk a nagyságával:

$\vec{e}_{\vec{b}} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$

Ekkor a $\vec{a}_{\parallel}$ vektor az $\vec{b}$ irányú egységvektor számszorosaként így írható fel:

$\vec{a}_{\parallel} = (\vec{a} \cdot \vec{e}_{\vec{b}}) \cdot \vec{e}_{\vec{b}}$

Ez a kifejezés azt jelenti, hogy a $\vec{a}$-nak a $\vec{b}$ irányába eső része az $\vec{e}_{\vec{b}}$ (egységvektor) skaláris szorzataként adható meg.

Összefoglalás:

• A párhuzamos komponens: $\vec{a}_{\parallel} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$
• A merőleges komponens: $\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \vec{a}_{\parallel}$
• Egységvektor formájában: $\vec{a}_{\parallel} = (\vec{a} \cdot \vec{e}_{\vec{b}}) \cdot \vec{e}_{\vec{b}}$

Ha konkrét értékek vannak, számításokkal is megadhatjuk a komponenseket. Van-e konkrét érték a $\vec{a}$ és $\vec{b}$ vektorokra?

---

Kapcsolódó kérdések:

1. Hogyan számítjuk ki két vektor közötti szöget?
2. Mi a különbség a skaláris és vektoriális szorzat között?
3. Hogyan lehet kiszámítani a vektor nagyságát?
4. Hogyan ábrázolható a tangens és normális komponens egy grafikonon?
5. Mi a geometriai jelentése a vektor vetítésének?

Tipp:

A vektor vetítés geometriai jelentése a $\vec{a}$ és $\vec{b}$ közötti szögből származik: a vetület a $\vec{a}$-nak a $\vec{b}$ irányú része.