https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1729236951958ject9vcs.jpg

Рассмотрим задачу. Нам нужно найти вектор \(\vec{x}\), который перпендикулярен к векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), и удовлетворяет условию \(\vec{x} \cdot \vec{c} = -6\), где:

\[
\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}
\]
\[
\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}
\]
\[
\vec{c} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}
\]

### Шаг 1: Найдем вектор \(\vec{x}\), который перпендикулярен к \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Так как \(\vec{x}\) перпендикулярен к \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), это означает, что \(\vec{x}\) должен быть коллинеарен вектору, полученному как векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\).

Выполним векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\):

\[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 3
\end{vmatrix}
\]

Рассчитаем определитель:

\[
\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \left(3 \times 3 - (-2) \times (-1)\right) - \hat{j} \left(2 \times 3 - 1 \times (-1)\right) + \hat{k} \left(2 \times (-2) - 1 \times 3\right)
\]
\[
= \hat{i} (9 - 2) - \hat{j} (6 + 1) + \hat{k} (-4 - 3)
\]
\[
= \hat{i} \cdot 7 - \hat{j} \cdot 7 + \hat{k} \cdot (-7)
\]

Следовательно, вектор \(\vec{a} \times \vec{b} = 7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}\). Этот вектор перпендикулярен к \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), поэтому можем записать \(\vec{x} = \lambda(7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k})\), где \(\lambda\) — некоторое скалярное число.

### Шаг 2: Используем условие скалярного произведения.

Из условия \(\vec{x} \cdot \vec{c} = -6\), подставим \(\vec{x} = \lambda(7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k})\) и \(\vec{c} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}\):

\[
\vec{x} \cdot \vec{c} = \lambda(7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})
\]
\[
= \lambda \left(7 \times 2 + (-7) \times (-1) + (-7) \times 1\right)
\]
\[
= \lambda (14 + 7 - 7) = \lambda \cdot 14
\]

Таким образом, у нас получается уравнение:
\[
\lambda \cdot 14 = -6
\]
\[
\lambda = -\frac{6}{14} = -\frac{3}{7}
\]

### Шаг 3: Найдем вектор \(\vec{x}\).

Теперь подставим найденное значение \(\lambda = -\frac{3}{7}\) в выражение для \(\vec{x}\):

\[
\vec{x} = -\frac{3}{7}(7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}
\]

Следовательно, искомый вектор \(\vec{x} = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}\).

---

Хотите ли вы подробностей или разъяснений? Вот 5 вопросов для расширения:

1. Что такое векторное произведение, и как оно связано с перпендикулярностью?
2. Как работает скалярное произведение для проверки параллельности или перпендикулярности?
3. Почему параметр \(\lambda\) используется для представления направления вектора?
4. Можно ли найти вектор \(\vec{x}\) другим способом?
5. Какие геометрические интерпретации можно сделать для таких векторных задач?

**Совет:** Всегда проверяйте направление результирующего вектора после выполнения векторного произведения для правильного понимания взаимной ориентации.

Найти вектор X, зная, что он перпендикулярен к векторам a = 2i + 3j - k и b = i - 2j + 3k и удовлетворяет условию X · c = -6, где c = 2i - j + k.

Solve a vector algebra problem involving finding a vector X perpendicular to vectors a = 2i + 3j - k and b = i - 2j + 3k, satisfying the condition X · c = -6 where c = 2i - j + k. Learn how to use the cross product and dot product to find the solution.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation