salah satu faktor linear suku banyak f(x)=2x^3  + ax^2 - 11x + 6 adalah (x-2) . hasil kali semua akarnya

Diberikan bahwa salah satu faktor linear dari suku banyak \( f(x) = 2x^3 + ax^2 - 11x + 6 \) adalah \( (x - 2) \). Ini berarti bahwa \( x = 2 \) adalah salah satu akar dari suku banyak tersebut.

Untuk menemukan nilai \( a \), kita substitusi \( x = 2 \) ke dalam \( f(x) \) dan setara dengan nol:

\[
f(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 - 11(2) + 6 = 0
\]

\[
f(2) = 2(8) + 4a - 22 + 6 = 0
\]

\[
16 + 4a - 16 = 0
\]

\[
4a = 0
\]

\[
a = 0
\]

Dengan nilai \( a = 0 \), maka persamaan suku banyak menjadi:

\[
f(x) = 2x^3 - 11x + 6
\]

Sekarang kita cari akar-akar lainnya. Kita sudah tahu bahwa \( x = 2 \) adalah salah satu akar, sehingga kita bisa membagi \( f(x) \) dengan \( (x - 2) \) untuk mendapatkan polinom pembagi yang lebih kecil.

Kita akan membagi \( f(x) \) dengan \( (x - 2) \):

\[
f(x) = (x - 2)(2x^2 + 4x - 3)
\]

Selanjutnya, kita cari akar-akar dari polinomial kuadrat \( 2x^2 + 4x - 3 \):

Dengan menggunakan rumus kuadrat:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Di mana \( a = 2 \), \( b = 4 \), dan \( c = -3 \):

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}
\]

Jadi akar-akar lainnya adalah \( x = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} \) dan \( x = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} \).

Hasil kali semua akarnya adalah:

\[
2 \times \left(\frac{-2 + \sqrt{10}}{2}\right) \times \left(\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}\right)
\]

\[
= 2 \times \frac{1}{4} \times \left(-2 + \sqrt{10}\right) \times \left(-2 - \sqrt{10}\right)
\]

\[
= 2 \times \frac{1}{4} \times ((-2)^2 - (\sqrt{10})^2)
\]

\[
= 2 \times \frac{1}{4} \times (4 - 10)
\]

\[
= 2 \times \frac{1}{4} \times (-6)
\]

\[
= 2 \times \left(-\frac{3}{2}\right)
\]

\[
= -3
\]

Jadi, hasil kali semua akar dari \( f(x) \) adalah \( -3 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? Berikut lima pertanyaan terkait yang mungkin menarik:

1. Bagaimana cara menentukan faktor-faktor lain dari polinomial \( f(x) \) setelah diketahui satu faktor?
2. Apa langkah-langkah umum untuk membagi polinomial menggunakan pembagian panjang?
3. Bagaimana menemukan akar-akar rasional dari sebuah polinomial?
4. Apa kegunaan dari teorema faktor dalam analisis polinomial?
5. Bagaimana menginterpretasikan akar-akar kompleks dalam konteks polinomial nyata?

**Tip:** Menggunakan teorema faktor adalah salah satu cara yang efisien untuk mencari akar polinomial dan memfaktorkannya lebih lanjut.

Explore how to find polynomial factors and roots using a specific example. This problem involves determining the factorization of a polynomial given one linear factor, applying the quadratic formula to find remaining roots, and calculating the product of all roots. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation