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Resolver con la gráfica y decir si cada una tiene límite o no existe

Para resolver los problemas de límites utilizando la gráfica proporcionada, observemos cada punto y la tendencia de la función a medida que se aproxima a los valores dados. Aquí están las respuestas para cada uno:

### a) \(\lim_{x \to 4^+} f(x)\)

Para \(x \to 4^+\), observamos la gráfica acercándonos al punto \(x = 4\) desde la derecha. En la gráfica, parece que la función se aproxima a \(y = 1\).

### b) \(\lim_{x \to -2} f(x)\)

Para \(x \to -2\), la gráfica muestra que la función se aproxima a \(y = 1\) tanto desde la izquierda como desde la derecha. Así que \(\lim_{x \to -2} f(x) = 1\).

### c) \(\lim_{x \to 0} f(x)\)

Para \(x \to 0\), desde ambos lados, la función se aproxima a \(y = 0\). Así que \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\).

### d) \(\lim_{x \to 1} f(x)\)

Para \(x \to 1\), observamos que la función se aproxima a \(y = 0\) tanto desde la izquierda como desde la derecha. Entonces, \(\lim_{x \to 1} f(x) = 0\).

### e) \(\lim_{x \to 3} f(x)\)

Para \(x \to 3\), la función se aproxima a \(y = -1\) desde ambos lados. Entonces, \(\lim_{x \to 3} f(x) = -1\).

### f) \(\lim_{x \to 4^-} f(x)\)

Para \(x \to 4^-\), observamos que la función se aproxima a \(y = 2\). Entonces, \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = 2\).

### g) \(f(0)\)

En \(x = 0\), la función toma el valor \(y = 1\). Por lo tanto, \(f(0) = 1\).

### h) \(f(-2)\)

En \(x = -2\), la función toma el valor \(y = 1\). Por lo tanto, \(f(-2) = 1\).

### i) \(f(4)\)

En \(x = 4\), la función tiene un valor \(y = 2\). Por lo tanto, \(f(4) = 2\).

### Conclusión de límites:

Para los límites que involucraron acercarse a un punto desde la izquierda y la derecha, observamos si la función converge al mismo valor desde ambos lados para confirmar la existencia de un límite. Si los valores no coinciden, decimos que el límite no existe en ese punto. En este caso, el único punto en el que los límites desde ambos lados son diferentes es \(x = 4\), por lo que:

- \(\lim_{x \to 4} f(x)\) no existe porque \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = 1\) y \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = 2\).

¿Tienes alguna pregunta o necesitas más detalles sobre estos límites? Aquí tienes algunas preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se define formalmente un límite cuando \(x\) se aproxima a un valor específico?
2. ¿Por qué es importante considerar los límites desde la izquierda y desde la derecha?
3. ¿Qué significa que un límite no existe en un punto específico?
4. ¿Cómo se identifica un valor de la función en un punto específico usando una gráfica?
5. ¿Qué información adicional podríamos obtener si supiéramos más sobre la función, como su ecuación algebraica?

**Tip:** Al trabajar con límites en una gráfica, siempre observe las tendencias de la función desde ambos lados del punto en cuestión para determinar la existencia y el valor del límite.

Explore how to resolve limit problems using graphical analysis. Detailed solutions are provided for various limit scenarios, including approaching a point from both sides. Learn about the existence and non-existence of limits based on graphical trends.

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