explicame que tipo de regla de derivacion usas en cada una

Claro, a continuación te explico qué regla de derivación se utiliza en cada caso y por qué se aplica esa regla específica:

### a) \( f(x) = \frac{5 \cdot x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}} \)

**Regla de derivación usada:** Simplificación y Regla de la Potencia

1. **Simplificación:** Se simplifican las raíces y fracciones en forma de potencias de \(x\) para que la función esté en una forma derivable fácilmente.
2. **Regla de la Potencia:** Una vez simplificado, se aplica la regla \( \frac{d}{dx} (x^n) = n \cdot x^{n-1} \).

### b) \( f(x) = (-7x^4 + 5x)^2 \)

**Regla de derivación usada:** Regla de la Cadena

1. **Regla de la Cadena:** Se usa para derivar funciones compuestas. Si \( g(x) = -7x^4 + 5x \), entonces \( f(x) = (g(x))^2 \).
2. Aplicamos la derivada exterior: \( 2(g(x)) \cdot g'(x) \).

### c) \( f(x) = \frac{-3x^2 + 8x - 1}{4x + 6} \)

**Regla de derivación usada:** Regla del Cociente

1. **Regla del Cociente:** Para funciones de la forma \( \frac{u(x)}{v(x)} \), la derivada es \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \).
2. Aquí, \( u(x) = -3x^2 + 8x - 1 \) y \( v(x) = 4x + 6 \).

### d) \( f(x) = \cos^2(4x) \)

**Regla de derivación usada:** Regla de la Cadena y Derivada de Trigonométricas

1. **Regla de la Cadena:** Similar al caso anterior, pero aplicada a funciones trigonométricas.
2. Primero se deriva el término exterior: \( 2\cos(4x) \).
3. Luego, se deriva la parte interior \( \cos(4x) \) usando la regla de derivación de coseno y el argumento interno \( 4x \).

### e) \( f(x) = \ln\left(\frac{x}{3e^x}\right) \)

**Regla de derivación usada:** Regla de Logaritmos y Simplificación

1. **Propiedades de Logaritmos:** Se simplifica usando propiedades: \( \ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b) \).
2. **Regla de la Derivada Logarítmica:** Para \( \ln(x) \), se usa \( \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \).
3. Además, la derivada de \( e^x \) es \( e^x \).

### f) \( f(x) = \arctan(-8x^2 + 7x) \)

**Regla de derivación usada:** Regla de la Cadena y Derivada de Función Inversa

1. **Derivada de la Función Inversa:** Para \( \arctan(u) \), la derivada es \( \frac{1}{1 + u^2} \).
2. **Regla de la Cadena:** Se deriva la parte interna \( u = -8x^2 + 7x \).

Si necesitas un desglose más detallado de alguna de las reglas o cómo se aplican específicamente en un caso, házmelo saber. 

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se usa la Regla de la Cadena en funciones más complejas?
2. ¿Cuándo es necesario simplificar una función antes de derivarla?
3. ¿Cómo derivar funciones con productos y cocientes de potencias?
4. ¿Qué propiedades de logaritmos son útiles al derivar funciones logarítmicas?
5. ¿Cuáles son las derivadas de las funciones trigonométricas y cómo se aplican?

**Tip:** Conocer las propiedades algebraicas te ayuda a simplificar problemas de derivación y evita errores en los cálculos.

Explore the rules of differentiation used in calculus: power functions, chain rule, quotient rule, and derivatives of trigonometric and logarithmic functions. Learn how these rules are applied with detailed examples.

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