Claro, a continuación te explico qué regla de derivación se utiliza en cada caso y por qué se aplica esa regla específica:

a) $f(x) = \frac{5 \cdot x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}$

Regla de derivación usada: Simplificación y Regla de la Potencia

1. Simplificación: Se simplifican las raíces y fracciones en forma de potencias de $x$ para que la función esté en una forma derivable fácilmente.
2. Regla de la Potencia: Una vez simplificado, se aplica la regla $\frac{d}{dx} (x^n) = n \cdot x^{n-1}$.

b) $f(x) = (-7x^4 + 5x)^2$

Regla de derivación usada: Regla de la Cadena

1. Regla de la Cadena: Se usa para derivar funciones compuestas. Si $g(x) = -7x^4 + 5x$, entonces $f(x) = (g(x))^2$.
2. Aplicamos la derivada exterior: $2(g(x)) \cdot g'(x)$.

c) $f(x) = \frac{-3x^2 + 8x - 1}{4x + 6}$

Regla de derivación usada: Regla del Cociente

1. Regla del Cociente: Para funciones de la forma $\frac{u(x)}{v(x)}$, la derivada es $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.
2. Aquí, $u(x) = -3x^2 + 8x - 1$ y $v(x) = 4x + 6$.

d) $f(x) = \cos^2(4x)$

Regla de derivación usada: Regla de la Cadena y Derivada de Trigonométricas

1. Regla de la Cadena: Similar al caso anterior, pero aplicada a funciones trigonométricas.
2. Primero se deriva el término exterior: $2\cos(4x)$.
3. Luego, se deriva la parte interior $\cos(4x)$ usando la regla de derivación de coseno y el argumento interno $4x$.

e) $f(x) = \ln\left(\frac{x}{3e^x}\right)$

Regla de derivación usada: Regla de Logaritmos y Simplificación

1. Propiedades de Logaritmos: Se simplifica usando propiedades: $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$.
2. Regla de la Derivada Logarítmica: Para $\ln(x)$, se usa $\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$.
3. Además, la derivada de $e^x$ es $e^x$.

f) $f(x) = \arctan(-8x^2 + 7x)$

Regla de derivación usada: Regla de la Cadena y Derivada de Función Inversa

1. Derivada de la Función Inversa: Para $\arctan(u)$, la derivada es $\frac{1}{1 + u^2}$.
2. Regla de la Cadena: Se deriva la parte interna $u = -8x^2 + 7x$.

Si necesitas un desglose más detallado de alguna de las reglas o cómo se aplican específicamente en un caso, házmelo saber.

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se usa la Regla de la Cadena en funciones más complejas?
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3. ¿Cómo derivar funciones con productos y cocientes de potencias?
4. ¿Qué propiedades de logaritmos son útiles al derivar funciones logarítmicas?
5. ¿Cuáles son las derivadas de las funciones trigonométricas y cómo se aplican?

Tip: Conocer las propiedades algebraicas te ayuda a simplificar problemas de derivación y evita errores en los cálculos.