La derivada es un concepto fundamental en el cálculo que describe cómo cambia una función en un punto específico. Formalmente, la derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función con respecto a una variable. En términos sencillos, nos dice qué tan rápido o lento cambia el valor de una función en un punto determinado.

Definición formal:

Si $f(x)$ es una función, la derivada de $f(x)$ con respecto a $x$, denotada como $f'(x)$ o $\frac{df}{dx}$, se define como el límite de la tasa de cambio promedio de la función cuando el intervalo tiende a cero. Matemáticamente, es: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Ejemplo gráfico:

Imagina una función $f(x)$ que representa una curva en un gráfico. La derivada en un punto específico $x_0$ nos da la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

Paso a paso con un ejemplo gráfico:

1. Considera la función $f(x) = x^2$, que es una parábola.
2. La derivada de esta función es $f'(x) = 2x$, lo que significa que en cualquier punto $x$, la pendiente de la curva es el doble del valor de $x$.
3. Supongamos que tomamos el punto $x_0 = 2$. La pendiente de la tangente en ese punto sería $f'(2) = 2(2) = 4$.
4. Gráficamente, si dibujas la parábola $f(x) = x^2$ y trazas una línea recta que toque la curva en el punto $x = 2$, la pendiente de esa línea (la tangente) será 4.

Esta tangente indica qué tan rápido está cambiando la función en ese punto. Si la pendiente es positiva (como en este caso), significa que la función está aumentando en ese punto.

¿Te gustaría que genere un gráfico para visualizar este ejemplo?