Das Kreuzprodukt, auch als Vektorprodukt bezeichnet, ist eine Operation in der Vektorrechnung, die zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum zu einem neuen Vektor kombiniert. Dieser resultierende Vektor steht senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren und hat eine Länge, die proportional zur Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist.

Definition

Für zwei Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) wird das Kreuzprodukt a × b berechnet durch:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$

Eigenschaften des Kreuzprodukts:

1. Orthogonalität: Der resultierende Vektor steht senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren.
2. Betrag: Die Länge des Vektors a × b entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von a und b aufgespannt wird.
3. Richtung: Die Richtung des resultierenden Vektors wird durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel bestimmt.
4. Antisymmetrie: Das Kreuzprodukt ist antisymmetrisch, d.h., a × b = -(b × a).
5. Distributivität: Das Kreuzprodukt ist distributiv bezüglich der Addition, das heißt a × (b + c) = a × b + a × c.

Anwendungsbeispiel

Das Kreuzprodukt wird häufig in der Physik verwendet, zum Beispiel zur Berechnung des Drehmoments oder des magnetischen Flusses.

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Hier sind einige weiterführende Fragen:

1. Was ist der geometrische Unterschied zwischen Kreuzprodukt und Skalarprodukt?
2. Wie wird das Kreuzprodukt zur Bestimmung des Drehmoments verwendet?
3. Wie kann das Kreuzprodukt bei der Bestimmung der Normalenvektoren einer Fläche helfen?
4. Wie wird das Kreuzprodukt in der Elektromagnetismus-Theorie verwendet?
5. Was ist die Bedeutung der Rechte-Hand-Regel für das Kreuzprodukt?

Tipp: Das Kreuzprodukt ist nur für Vektoren im dreidimensionalen Raum definiert.