Давайте решим задачу по шагам и разберём теорию.

Условие:

Даны независимые выборки $X_1, X_2, \dots, X_n$ из генеральной совокупности $X$, которая имеет нормальное распределение $N(2, \sigma^2)$. Необходимо найти такое $k$, при котором статистика

$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 - k$

является несмещённой оценкой дисперсии $\sigma^2$.

Шаг 1: Определим несмещённую оценку

Несмещённая оценка – это такая оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру. В данном случае мы ищем $k$, при котором математическое ожидание данной статистики будет равно $\sigma^2$.

Шаг 2: Распределение $X_i$

Пусть каждый элемент выборки $X_i$ распределён по закону $N(2, \sigma^2)$, то есть:

$X_i \sim N(2, \sigma^2)$

Это значит, что математическое ожидание $\mathbb{E}[X_i] = 2$ и дисперсия $\text{Var}(X_i) = \sigma^2$.

Шаг 3: Разложим выражение для статистики

Теперь рассмотрим статистику:

$S = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 - k$

Найдем её математическое ожидание. Для этого сначала раскроем квадрат:

$(X_i - 1)^2 = (X_i - 2 + 1)^2 = (X_i - 2)^2 + 2(X_i - 2) + 1$

Математическое ожидание каждого из этих слагаемых:

1. $\mathbb{E}[(X_i - 2)^2] = \text{Var}(X_i) = \sigma^2$,
2. $\mathbb{E}[2(X_i - 2)] = 2 \cdot \mathbb{E}[X_i - 2] = 0$, так как $\mathbb{E}[X_i - 2] = 0$,
3. $\mathbb{E}[1] = 1$.

Следовательно,

$\mathbb{E}[(X_i - 1)^2] = \sigma^2 + 1.$

Шаг 4: Математическое ожидание статистики

Теперь найдём математическое ожидание всей статистики:

[ \mathbb{E}\left[\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 - k\right] = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[(X_i - 1)^2] - k. ]

Подставляем найденное $\mathbb{E}[(X_i - 1)^2] = \sigma^2 + 1$:

$\mathbb{E}[S] = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} (\sigma^2 + 1) - k = \frac{1}{2n} n (\sigma^2 + 1) - k = \frac{\sigma^2 + 1}{2} - k.$

Шаг 5: Несмещённая оценка

Чтобы оценка была несмещённой, математическое ожидание должно быть равно $\sigma^2$. То есть:

$\frac{\sigma^2 + 1}{2} - k = \sigma^2.$

Решим это уравнение относительно $k$:

$\frac{\sigma^2 + 1}{2} = \sigma^2 + k,$

$k = \frac{\sigma^2 + 1}{2} - \sigma^2 = \frac{1}{2}.$

Ответ:

Таким образом, $k = \frac{1}{2}$.

Теория:

В данной задаче использовалась теория статистической оценки. Несмещённая оценка параметра — это такая оценка, математическое ожидание которой совпадает с истинным значением оцениваемого параметра. В нашем случае нужно было скорректировать статистику так, чтобы её математическое ожидание совпадало с дисперсией $\sigma^2$.

Хочешь задать дополнительные вопросы или уточнить детали?

Дополнительные вопросы:

1. Как вычисляется дисперсия выборки для нормального распределения?
2. В чём разница между несмещённой и смещённой оценками?
3. Какие ещё методы существуют для оценки дисперсии?
4. Как используется статистика выборки для оценки параметров нормального распределения?
5. Что означает свойство состоятельности оценок в математической статистике?

Советы:

При оценивании параметров важно учитывать не только несмещённость, но и другие свойства оценок, такие как состоятельность и эффективность.