Пусть X1,X2 независимая повторная выборка из генеральной совокупности X, имеющей распределение N(2;$$ \sigma^2) $$. Найти k, при котором статистика  $$ \frac12\Sigma_{i=1}^2\left(X_{i}-1\right)^2-k $$ является несмещенной оценкой $$ \sigma^2 $$

Задача состоит в том, чтобы найти $ k $, при котором статистика 

\[
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} \left( X_i - 1 \right)^2 - k
\]

является несмещенной оценкой для дисперсии $ \sigma^2 $ в распределении $ N(2, \sigma^2) $. 

### Шаг 1: Выразим ожидание исходной статистики

Пусть $ X_1 $ и $ X_2 $ — это независимые выборки из нормального распределения $ N(2, \sigma^2) $. Мы знаем, что математическое ожидание каждой выборки:

\[
\mathbb{E}(X_i) = 2.
\]

Перепишем выражение для суммы:

\[
\sum_{i=1}^{2} \left( X_i - 1 \right)^2 = \sum_{i=1}^{2} \left( (X_i - 2) + (2 - 1) \right)^2 = \sum_{i=1}^{2} \left( (X_i - 2) + 1 \right)^2.
\]

Теперь раскроем скобки:

\[
(X_i - 1)^2 = (X_i - 2 + 1)^2 = (X_i - 2)^2 + 2(X_i - 2) \cdot 1 + 1^2.
\]

Или:

\[
(X_i - 1)^2 = (X_i - 2)^2 + 2(X_i - 2) + 1.
\]

### Шаг 2: Найдём математическое ожидание этой суммы

Теперь найдём математическое ожидание для каждого слагаемого:

1. $ \mathbb{E}((X_i - 2)^2) = \sigma^2 $, поскольку это дисперсия выборки.
2. $ \mathbb{E}(2(X_i - 2)) = 2 \cdot \mathbb{E}(X_i - 2) = 2 \cdot (2 - 2) = 0 $, поскольку $ \mathbb{E}(X_i) = 2 $.
3. $ \mathbb{E}(1) = 1 $.

Следовательно:

\[
\mathbb{E}\left( (X_i - 1)^2 \right) = \sigma^2 + 1.
\]

### Шаг 3: Найдём математическое ожидание всей суммы

\[
\mathbb{E} \left( \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} \left( X_i - 1 \right)^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\sigma^2 + 1) = \sigma^2 + 1.
\]

### Шаг 4: Найдём $ k $

Чтобы сделать оценку несмещённой для $ \sigma^2 $, нужно вычесть смещение, равное 1:

\[
\sigma^2 + 1 - k = \sigma^2.
\]

Следовательно, $ k = 1 $.

### Ответ:
$ k = 1 $.

Хотите ли вы получить дополнительные разъяснения или задать вопросы? 

**5 вопросов для дальнейшего изучения:**
1. Как определяется несмещённая оценка в статистике?
2. В чём разница между смещённой и несмещённой оценкой дисперсии?
3. Как можно использовать максимальное правдоподобие для нахождения оценок параметров?
4. Как влияют независимые выборки на вычисление дисперсии?
5. Какие есть методы уменьшения смещения статистических оценок?

**Совет:** При оценивании дисперсии из выборки часто добавляется корректирующий коэффициент, чтобы оценка была несмещённой.

Пусть X1,X2 независимая повторная выборка из генеральной совокупности X, имеющей распределение N(2;$$ \sigma^2) $$. Найти k, при котором статистика  $$ \frac12\Sigma_{i=1}^2\left(X_{i}-1\right)^2-k $$ является несмещенной оценкой $$ \sigma^2 $$.

Find the constant k that makes the statistic (1/2)Σ(X_i - 1)^2 - k an unbiased estimator of variance σ^2 in the normal distribution N(2, σ^2). This problem involves concepts like unbiased estimation, variance, and properties of normal distributions. Suitable for university-level statistics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation