Задача состоит в том, чтобы найти $k$, при котором статистика

$\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} \left( X_i - 1 \right)^2 - k$

является несмещенной оценкой для дисперсии $\sigma^2$ в распределении $N(2, \sigma^2)$.

Шаг 1: Выразим ожидание исходной статистики

Пусть $X_1$ и $X_2$ — это независимые выборки из нормального распределения $N(2, \sigma^2)$. Мы знаем, что математическое ожидание каждой выборки:

$\mathbb{E}(X_i) = 2.$

Перепишем выражение для суммы:

$\sum_{i=1}^{2} \left( X_i - 1 \right)^2 = \sum_{i=1}^{2} \left( (X_i - 2) + (2 - 1) \right)^2 = \sum_{i=1}^{2} \left( (X_i - 2) + 1 \right)^2.$

Теперь раскроем скобки:

$(X_i - 1)^2 = (X_i - 2 + 1)^2 = (X_i - 2)^2 + 2(X_i - 2) \cdot 1 + 1^2.$

Или:

$(X_i - 1)^2 = (X_i - 2)^2 + 2(X_i - 2) + 1.$

Шаг 2: Найдём математическое ожидание этой суммы

Теперь найдём математическое ожидание для каждого слагаемого:

1. $\mathbb{E}((X_i - 2)^2) = \sigma^2$, поскольку это дисперсия выборки.
2. $\mathbb{E}(2(X_i - 2)) = 2 \cdot \mathbb{E}(X_i - 2) = 2 \cdot (2 - 2) = 0$, поскольку $\mathbb{E}(X_i) = 2$.
3. $\mathbb{E}(1) = 1$.

Следовательно:

$\mathbb{E}\left( (X_i - 1)^2 \right) = \sigma^2 + 1.$

Шаг 3: Найдём математическое ожидание всей суммы

$\mathbb{E} \left( \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} \left( X_i - 1 \right)^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\sigma^2 + 1) = \sigma^2 + 1.$

Шаг 4: Найдём $k$

Чтобы сделать оценку несмещённой для $\sigma^2$, нужно вычесть смещение, равное 1:

$\sigma^2 + 1 - k = \sigma^2.$

Следовательно, $k = 1$.

Ответ:

$k = 1$.

Хотите ли вы получить дополнительные разъяснения или задать вопросы?

5 вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как определяется несмещённая оценка в статистике?
2. В чём разница между смещённой и несмещённой оценкой дисперсии?
3. Как можно использовать максимальное правдоподобие для нахождения оценок параметров?
4. Как влияют независимые выборки на вычисление дисперсии?
5. Какие есть методы уменьшения смещения статистических оценок?

Совет: При оценивании дисперсии из выборки часто добавляется корректирующий коэффициент, чтобы оценка была несмещённой.