пусть X1, X2 независимая повторная выборка из генеральной совокупности X, имеющей распределение N(2;$$ \sigma^2 $$). Найти k, при котором статистика $$ \frac12\Sigma_{i=1}^2\left(X_{i}-1\right)^2-k $$является несмещённой оценкой $$ \sigma^2 $$.

Дано, что $ X_1, X_2 $ — это независимая повторная выборка из генеральной совокупности $ X $, имеющей нормальное распределение $ N(2, \sigma^2) $. Нужно найти $ k $, при котором статистика

\[
S = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} (X_i - 1)^2 - k
\]

является несмещённой оценкой для $ \sigma^2 $.

### Шаг 1: Найдём математическое ожидание статистики

Чтобы статистика была несмещённой оценкой дисперсии $ \sigma^2 $, её математическое ожидание должно быть равно $ \sigma^2 $. То есть, нужно найти математическое ожидание данной статистики и сделать его равным $ \sigma^2 $.

### Шаг 2: Распределение выборок

Так как $ X_i \sim N(2, \sigma^2) $, то:

- Математическое ожидание $ \mathbb{E}[X_i] = 2 $,
- Дисперсия $ \text{Var}(X_i) = \sigma^2 $.

Теперь рассмотрим выражение $ (X_i - 1)^2 $.

### Шаг 3: Раскроем квадрат и найдём его математическое ожидание

\[
(X_i - 1)^2 = (X_i - 2 + 1)^2 = (X_i - 2)^2 + 2(X_i - 2) + 1.
\]

Теперь найдём математическое ожидание каждого слагаемого:

1. $ \mathbb{E}[(X_i - 2)^2] = \text{Var}(X_i) = \sigma^2 $,
2. $ \mathbb{E}[2(X_i - 2)] = 2 \cdot \mathbb{E}[X_i - 2] = 0 $ (так как $ \mathbb{E}[X_i - 2] = 0 $),
3. $ \mathbb{E}[1] = 1 $.

Следовательно,

\[
\mathbb{E}[(X_i - 1)^2] = \sigma^2 + 1.
\]

### Шаг 4: Математическое ожидание статистики

Теперь найдём математическое ожидание всей статистики:

\[
\mathbb{E}[S] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} (X_i - 1)^2 - k\right] = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} \mathbb{E}[(X_i - 1)^2] - k.
\]

Подставляем найденное $ \mathbb{E}[(X_i - 1)^2] = \sigma^2 + 1 $:

\[
\mathbb{E}[S] = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} (\sigma^2 + 1) - k = \frac{1}{2} \cdot 2 (\sigma^2 + 1) - k = \sigma^2 + 1 - k.
\]

### Шаг 5: Несмещённая оценка

Чтобы статистика $ S $ была несмещённой оценкой $ \sigma^2 $, её математическое ожидание должно быть равно $ \sigma^2 $. То есть:

\[
\sigma^2 + 1 - k = \sigma^2.
\]

Решим это уравнение относительно $ k $:

\[
1 - k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 1.
\]

### Ответ:
Таким образом, $ k = 1 $.

---

### Теория:
В данной задаче мы использовали метод несмещённых оценок для оценки дисперсии нормального распределения. Несмещённая оценка — это такая оценка, математическое ожидание которой совпадает с оцениваемым параметром, что мы и использовали для определения значения $ k $.

---

Есть ли ещё вопросы по данной теме или нужна дополнительная информация?

#### Дополнительные вопросы:
1. Как рассчитать дисперсию для случайной выборки?
2. Какие ещё существуют методы оценки дисперсии?
3. В чём заключается принцип максимального правдоподобия при оценке параметров?
4. Как нормальное распределение связано с центральной предельной теоремой?
5. Какие свойства оценок важны при выборе лучшего оценщика?

#### Совет:
При решении задач на оценку параметров всегда проверяйте не только несмещённость, но и другие свойства оценок, такие как эффективность и состоятельность.

пусть X1, X2 независимая повторная выборка из генеральной совокупности X, имеющей распределение N(2;σ^2). Найти k, при котором статистика ½Σ_{i=1}^2(X_{i}-1)^2-k является несмещённой оценкой σ^2.

Find the value of k such that the statistic ½Σ(X_i - 1)^2 - k is an unbiased estimator of σ² for a sample from a normal distribution N(2, σ²). This solution involves key statistical concepts including unbiased estimation and variance calculations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation