Дано, что $X_1, X_2$ — это независимая повторная выборка из генеральной совокупности $X$, имеющей нормальное распределение $N(2, \sigma^2)$. Нужно найти $k$, при котором статистика

$S = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} (X_i - 1)^2 - k$

является несмещённой оценкой для $\sigma^2$.

Шаг 1: Найдём математическое ожидание статистики

Чтобы статистика была несмещённой оценкой дисперсии $\sigma^2$, её математическое ожидание должно быть равно $\sigma^2$. То есть, нужно найти математическое ожидание данной статистики и сделать его равным $\sigma^2$.

Шаг 2: Распределение выборок

Так как $X_i \sim N(2, \sigma^2)$, то:

• Математическое ожидание $\mathbb{E}[X_i] = 2$,
• Дисперсия $\text{Var}(X_i) = \sigma^2$.

Теперь рассмотрим выражение $(X_i - 1)^2$.

Шаг 3: Раскроем квадрат и найдём его математическое ожидание

$(X_i - 1)^2 = (X_i - 2 + 1)^2 = (X_i - 2)^2 + 2(X_i - 2) + 1.$

Теперь найдём математическое ожидание каждого слагаемого:

1. $\mathbb{E}[(X_i - 2)^2] = \text{Var}(X_i) = \sigma^2$,
2. $\mathbb{E}[2(X_i - 2)] = 2 \cdot \mathbb{E}[X_i - 2] = 0$ (так как $\mathbb{E}[X_i - 2] = 0$),
3. $\mathbb{E}[1] = 1$.

Следовательно,

$\mathbb{E}[(X_i - 1)^2] = \sigma^2 + 1.$

Шаг 4: Математическое ожидание статистики

Теперь найдём математическое ожидание всей статистики:

[ \mathbb{E}[S] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} (X_i - 1)^2 - k\right] = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} \mathbb{E}[(X_i - 1)^2] - k. ]

Подставляем найденное $\mathbb{E}[(X_i - 1)^2] = \sigma^2 + 1$:

$\mathbb{E}[S] = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} (\sigma^2 + 1) - k = \frac{1}{2} \cdot 2 (\sigma^2 + 1) - k = \sigma^2 + 1 - k.$

Шаг 5: Несмещённая оценка

Чтобы статистика $S$ была несмещённой оценкой $\sigma^2$, её математическое ожидание должно быть равно $\sigma^2$. То есть:

$\sigma^2 + 1 - k = \sigma^2.$

Решим это уравнение относительно $k$:

$1 - k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 1.$

Ответ:

Таким образом, $k = 1$.

---

Теория:

В данной задаче мы использовали метод несмещённых оценок для оценки дисперсии нормального распределения. Несмещённая оценка — это такая оценка, математическое ожидание которой совпадает с оцениваемым параметром, что мы и использовали для определения значения $k$.

---

Есть ли ещё вопросы по данной теме или нужна дополнительная информация?

Дополнительные вопросы:

1. Как рассчитать дисперсию для случайной выборки?
2. Какие ещё существуют методы оценки дисперсии?
3. В чём заключается принцип максимального правдоподобия при оценке параметров?
4. Как нормальное распределение связано с центральной предельной теоремой?
5. Какие свойства оценок важны при выборе лучшего оценщика?

Совет:

При решении задач на оценку параметров всегда проверяйте не только несмещённость, но и другие свойства оценок, такие как эффективность и состоятельность.