Math Problem Statement
∫ ∫ ∫ U x 2 dxdydz, U = { (x, y, z)| x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 } , a, b, c > 0 を計算してください
Solution
この問題では、3重積分を計算します。積分範囲 は楕円体に囲まれた領域で、楕円体の方程式は次の通りです：
また、積分対象は です。
この積分は、楕円体の対称性を利用し、極座標系や楕円体座標系に変換することで計算します。
1. 楕円体座標系への変換
楕円体座標系では次のように座標を置き換えます：
y = b \rho \sin\theta \sin\phi,\quad z = c \rho \cos\theta$$ ここで： - $$\rho$$: 楕円体内での距離（$$0 \leq \rho \leq 1$$） - $$\theta$$: 楕円体の緯度角（$$0 \leq \theta \leq \pi$$） - $$\phi$$: 楕円体の経度角（$$0 \leq \phi \leq 2\pi$$） --- ### 2. **ヤコビアンの導出** 楕円体座標系のヤコビアンは次のようになります： $$\text{Jacobian} = abc \rho^2 \sin\theta$$ これを積分に含めます。 --- ### 3. **積分の式の設定** 積分対象は $$x^2 = a^2 \rho^2 \sin^2\theta \cos^2\phi$$ です。これを代入すると積分式は次のようになります： $$\iiint_U x^2 \, dx\,dy\,dz = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \left(a^2 \rho^2 \sin^2\theta \cos^2\phi \cdot abc \rho^2 \sin\theta\right) \, d\rho \, d\theta \, d\phi$$ --- ### 4. **積分の分離と計算** 積分を各変数で分離します： $$\int_0^{2\pi} \cos^2\phi \, d\phi, \quad \int_0^{\pi} \sin^3\theta \, d\theta, \quad \int_0^1 \rho^4 \, d\rho$$ #### **(1) $$\phi$$ の積分** $$\int_0^{2\pi} \cos^2\phi \, d\phi = \pi$$ #### **(2) $$\theta$$ の積分** $$\int_0^{\pi} \sin^3\theta \, d\theta = \frac{4}{3}$$ #### **(3) $$\rho$$ の積分** $$\int_0^1 \rho^4 \, d\rho = \frac{1}{5}$$ --- ### 5. **全体の積分をまとめる** これらをまとめると、積分値は次のようになります： $$\iiint_U x^2 \, dx\,dy\,dz = a^2 \cdot abc \cdot \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{5}$$ $$= \frac{4}{15} \pi a^3 b c$$ --- ### **最終結果** $$\boxed{\frac{4}{15} \pi a^3 b c}$$ この結果は、楕円体内での $$x^2$$ の積分値を表しています。 --- #### ご質問がありますか？以下の関連する質問をご参照ください： 1. 楕円体座標系の変換の詳細な導出を知りたいですか？ 2. ヤコビアンの計算プロセスについて説明が必要ですか？ 3. $$\phi, \theta, \rho$$ の各積分範囲の意味を詳しく知りたいですか？ 4. なぜ対称性を利用できるのか、直感的な理由を聞きたいですか？ 5. 他の積分範囲で同様の方法を適用する例を挙げてほしいですか？ **ヒント:** 対称性を持つ積分では、積分対象が一部の変数に依存しない場合、積分範囲を簡単化できます。Ask a new question for Free
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Multivariable Calculus
Triple Integration
Ellipsoid Geometry
Coordinate Transformation
Formulas
Ellipsoid equation: x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
Jacobian for coordinate transformation: abc ρ² sinθ
Integral of x^2 in ellipsoidal coordinates
Theorems
Transformation of coordinates
Symmetry in integration
Suitable Grade Level
University Level (Advanced Calculus)
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