Math Problem Statement
以下の三重積分を最大化する領域 𝐸 E を求めます:
∭ 𝐸 ( 1 − 3 𝑥 2 − 2 𝑦 2 − 𝑧 2 ) 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 𝑑 𝑧 . ∭ E (1−3x 2 −2y 2 −z 2 )dxdydz.
Solution
この問題は三重積分の領域 を決定し、その中で被積分関数を最大化する方法を探るものです。被積分関数は以下のように与えられています:
手順は以下の通りです:
1. 領域 の形を考える
積分領域 を適切に選択することで、積分結果を最大化します。関数 は2次形式であるため、楕円体の形状に関連付けられる可能性があります。
2. 関数が正である条件を見つける
三重積分を最大化するためには、積分範囲 において となる領域を考える必要があります。したがって、
これを整理すると、
となります。この不等式は、楕円体の内部に対応する領域です。
3. 領域 を設定する
領域 を次のように定義します:
4. 三重積分を計算する
次に、この領域 のもとで三重積分を計算します。
(a) 楕円体座標への変換
楕円体の式をより簡単にするため、変数変換を行います: すると、楕円体は単位球 となります。
この変換による体積要素のヤコビアンは次のように計算されます:
(b) 球座標での積分
単位球の領域で三重積分を計算します:
球座標 に変換すると:
体積要素は となります。
(c) 積分範囲
球座標での積分範囲は以下のようになります:
積分の詳細計算を進めると、結果が得られます。
このようにして、領域 が楕円体であることがわかり、三重積分が計算可能になります。
関連質問:
- 被積分関数が正である条件を決める方法は?
- 変数変換で積分範囲を簡略化する手順は?
- ヤコビアンの計算方法とは?
- 球座標への変換が適切な場合とは?
- 三重積分の結果を解析的に求める利点は?
ワンポイントアドバイス: 楕円体や球形の対称性を利用すると、三重積分の計算が大幅に簡単になります。
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f(x, y, z) = 1 - 3x^2 - 2y^2 - z^2
Ellipsoid equation: 3x^2 + 2y^2 + z^2 = 1
Transformation formulas for elliptical coordinates
Theorems
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Symmetry in Integration
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