Math Problem Statement

以下の三重積分を最大化する領域 𝐸 E を求めます:

∭ 𝐸 ( 1 − 3 𝑥 2 − 2 𝑦 2 − 𝑧 2 )   𝑑 𝑥   𝑑 𝑦   𝑑 𝑧 . ∭ E ​ (1−3x 2 −2y 2 −z 2 )dxdydz.

Solution

この問題は三重積分の領域 EE を決定し、その中で被積分関数を最大化する方法を探るものです。被積分関数は以下のように与えられています:

f(x,y,z)=13x22y2z2f(x, y, z) = 1 - 3x^2 - 2y^2 - z^2

手順は以下の通りです:

1. 領域 EE の形を考える

積分領域 EE を適切に選択することで、積分結果を最大化します。関数 f(x,y,z)f(x, y, z) は2次形式であるため、楕円体の形状に関連付けられる可能性があります。

2. 関数が正である条件を見つける

三重積分を最大化するためには、積分範囲 EE において f(x,y,z)>0f(x, y, z) > 0 となる領域を考える必要があります。したがって、

13x22y2z2>01 - 3x^2 - 2y^2 - z^2 > 0

これを整理すると、

3x2+2y2+z2<13x^2 + 2y^2 + z^2 < 1

となります。この不等式は、楕円体の内部に対応する領域です。

3. 領域 EE を設定する

領域 EE を次のように定義します:

E={(x,y,z)R33x2+2y2+z21}E = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 3x^2 + 2y^2 + z^2 \leq 1 \}

4. 三重積分を計算する

次に、この領域 EE のもとで三重積分を計算します。

(a) 楕円体座標への変換

楕円体の式をより簡単にするため、変数変換を行います: u=3x,v=2y,w=zu = \sqrt{3}x, \quad v = \sqrt{2}y, \quad w = z すると、楕円体は単位球 u2+v2+w21u^2 + v^2 + w^2 \leq 1 となります。

この変換による体積要素のヤコビアンは次のように計算されます: dxdydz=1321dudvdw=16dudvdwdx\,dy\,dz = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 1} du\,dv\,dw = \frac{1}{\sqrt{6}} du\,dv\,dw

(b) 球座標での積分

単位球の領域で三重積分を計算します: Ef(x,y,z)dxdydz=u2+v2+w21(1u23v22w2)16dudvdw\iiint_E f(x, y, z) \, dx\,dy\,dz = \iiint_{u^2+v^2+w^2 \leq 1} \left(1 - \frac{u^2}{3} - \frac{v^2}{2} - w^2 \right) \frac{1}{\sqrt{6}} \, du\,dv\,dw

球座標 (ρ,θ,ϕ)(\rho, \theta, \phi) に変換すると: u=ρsinϕcosθ,v=ρsinϕsinθ,w=ρcosϕu = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad v = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad w = \rho \cos\phi

体積要素は dudvdw=ρ2sinϕdρdϕdθdu\,dv\,dw = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta となります。

(c) 積分範囲

球座標での積分範囲は以下のようになります: 0ρ1,0ϕπ,0θ2π0 \leq \rho \leq 1, \quad 0 \leq \phi \leq \pi, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi

積分の詳細計算を進めると、結果が得られます。


このようにして、領域 EE が楕円体であることがわかり、三重積分が計算可能になります。

関連質問:

  1. 被積分関数が正である条件を決める方法は?
  2. 変数変換で積分範囲を簡略化する手順は?
  3. ヤコビアンの計算方法とは?
  4. 球座標への変換が適切な場合とは?
  5. 三重積分の結果を解析的に求める利点は?

ワンポイントアドバイス: 楕円体や球形の対称性を利用すると、三重積分の計算が大幅に簡単になります。

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Formulas

f(x, y, z) = 1 - 3x^2 - 2y^2 - z^2
Ellipsoid equation: 3x^2 + 2y^2 + z^2 = 1
Transformation formulas for elliptical coordinates

Theorems

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Symmetry in Integration

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