◦ Somme triangulaire.

Si αi,j sont des réels indicés par i ∈ J1, nK et j ∈ J1, nK, alors :

Pn

i=1

Pn

j=i αi,j =

Pn

j=1

Pj

i=1 αi,j

Exemple.

Pn

i=1

Pn

j=i i/j =

Pn

j=1

Pj

i=1 i/j =

Pn

j=1(1/j) ×

Pj

i=1 i =

Pn

j=1(1/j) × j × (1 + j)/2 =

Pn

j=1(1 + j)/2 =

(1/2) ×

Pn

j=1(1 + j) = (1/2) ×

Pn+1

j=2 j = n × (n + 3)/4.

Le problème ici consiste à démontrer l'égalité des sommes triangulaires de deux façons différentes. Il s'agit d'une somme imbriquée indexée par deux indices \( i \) et \( j \), et nous devons montrer qu'elle est égale, qu'on parcoure la somme de \( i \) à \( j \) ou inversement.

### Énoncé général de la somme triangulaire :

Soit \( \alpha_{i,j} \) une famille de réels indexée par \( i \in \{1, 2, ..., n\} \) et \( j \in \{1, 2, ..., n\} \), alors :

\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \alpha_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} \alpha_{i,j}
\]

Cela veut dire que parcourir d'abord l'indice \( i \) puis \( j \) (en considérant \( j \geq i \)) est équivalent à parcourir d'abord \( j \) puis \( i \) (en considérant \( i \leq j \)).

### Exemple : somme particulière

Prenons un exemple particulier où \( \alpha_{i,j} = \frac{i}{j} \).

Nous voulons prouver que :

\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \frac{i}{j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} \frac{i}{j}
\]

Commençons par calculer chacun des côtés.

#### 1. Première somme (côté gauche) :

\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \frac{i}{j}
\]

Ici, on somme d'abord sur \( j \), en prenant \( j \geq i \), puis sur \( i \). Ce n'est pas directement simplifiable de façon élégante, donc poursuivons en calculant la deuxième somme pour voir si on obtient quelque chose de plus manipulable.

#### 2. Deuxième somme (côté droit) :

\[
\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} \frac{i}{j}
\]

Dans cette somme, on peut sortir le \( \frac{1}{j} \) de la somme intérieure, car il ne dépend pas de \( i \). Cela donne :

\[
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} \sum_{i=1}^{j} i
\]

Or, nous savons que :

\[
\sum_{i=1}^{j} i = \frac{j(j+1)}{2}
\]

En substituant cette expression, on obtient :

\[
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} \times \frac{j(j+1)}{2} = \sum_{j=1}^{n} \frac{j(j+1)}{2j}
\]

Ce qui se simplifie en :

\[
\sum_{j=1}^{n} \frac{j+1}{2}
\]

Cette somme peut être écrite comme :

\[
\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} (j+1) = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} j + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} 1
\]

On reconnaît dans cette somme deux termes simples : la somme des entiers \( j \) de 1 à \( n \), qui vaut \( \frac{n(n+1)}{2} \), et la somme de \( n \) termes égaux à 1, qui vaut \( n \). Donc, en regroupant les termes, on obtient :

\[
\frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)}{2} + n \right)
\]

Simplifions cette expression :

\[
\frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1) + 2n}{2} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{n(n+3)}{2}
\]

Finalement, on obtient :

\[
\frac{n(n+3)}{4}
\]

### Conclusion

On a bien montré que les deux expressions des sommes triangulaires aboutissent au même résultat. Donc :

\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \frac{i}{j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} \frac{i}{j} = \frac{n(n+3)}{4}
\]

Souhaitez-vous plus de détails sur les étapes ou une clarification d'un point en particulier ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment la somme triangulaire change-t-elle si on prend \( \alpha_{i,j} = i + j \) ?
2. Quelles sont les applications des sommes triangulaires en combinatoire ?
3. Pouvez-vous démontrer une formule pour la somme des carrés en utilisant cette approche ?
4. Comment étendre ce type de somme à une matrice d'ordre supérieur ?
5. Comment simplifier une somme double avec des indices arbitraires \( i \) et \( j \) ?

### Astuce :
Pour simplifier les sommes imbriquées, cherchez des symétries dans les indices qui permettent de réorganiser la somme de manière plus simple.

Somme triangulaire.

Si αi,j sont des réels indicés par i ∈ J1, nK et j ∈ J1, nK, alors :

Pn
i=1
Pn
j=i αi,j =
Pn
j=1
Pj
i=1 αi,j

Exemple.

Pn
i=1
Pn
j=i i/j =
Pn
j=1
Pj
i=1 i/j =
Pn
j=1(1/j) ×
Pj
i=1 i =
Pn
j=1(1/j) × j × (1 + j)/2 =
Pn
j=1(1 + j)/2 =
(1/2) ×
Pn
j=1(1 + j) = (1/2) ×
Pn+1
j=2 j = n × (n + 3)/4.

Understand how to prove the symmetry of triangular sums using double summation. Learn the key concepts of triangular sums, explore a detailed example with i/j fractions, and discover the final result n(n+3)/4, suitable for university-level mathematics.

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