Imamo pravilno tristrano piramido, pri kateri so podani:

• Višina na osnovni rob $a = 25 \, \text{m}$
• Višina piramide $h = 20 \, \text{m}$

Za izračun površine in volumna pravilne tristrane piramide sledimo tem korakom:

1. Volumen piramide:

Volumen pravilne piramide se izračuna po formuli:

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{osnova}} \cdot h$

Kjer je $A_{\text{osnova}}$ površina osnovne ploskve, ki je enakostranični trikotnik, in $h$ višina piramide.

Površina enakostraničnega trikotnika $A_{\text{osnova}}$ se izračuna po formuli:

$A_{\text{osnova}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Torej za $a = 25 \, \text{m}$:

$A_{\text{osnova}} = \frac{25^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{625 \sqrt{3}}{4} \approx 270.63 \, \text{m}^2$

Zdaj lahko izračunamo volumen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 270.63 \, \text{m}^2 \cdot 20 \, \text{m} \approx 1804.2 \, \text{m}^3$

2. Površina piramide:

Površina piramide vključuje površino osnovne ploskve in površine treh stranskih ploskev (trikotnikov).

Površina stranske ploskve $A_{\text{stranska}}$ je enaka:

$A_{\text{stranska}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s$

Kjer je $s$ višina stranske ploskve, ki jo izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka:

$s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2} = \sqrt{400 + 156.25} = \sqrt{556.25} \approx 23.59 \, \text{m}$

Zdaj izračunamo površino ene stranske ploskve:

$A_{\text{stranska}} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 23.59 \approx 294.88 \, \text{m}^2$

Ker ima piramida tri stranske ploskve, je skupna površina stranskih ploskev:

$A_{\text{stranske}} = 3 \cdot 294.88 \approx 884.64 \, \text{m}^2$

Zdaj izračunamo celotno površino piramide:

$A_{\text{piramida}} = A_{\text{osnova}} + A_{\text{stranske}} = 270.63 + 884.64 \approx 1155.27 \, \text{m}^2$

Končni rezultati:

• Volumen piramide: $V \approx 1804.2 \, \text{m}^3$
• Površina piramide: $A \approx 1155.27 \, \text{m}^2$

Ali potrebujete več podrobnosti o izračunih?

Dodatna vprašanja:

1. Kako bi se spremenil volumen, če bi bila višina piramide drugačna?
2. Kako bi izračunali prostornino, če bi bila osnova kvadrat?
3. Kako bi izračunali prostornino večstranske piramide z n-stranicami?
4. Kako bi se spremenila površina, če bi bil osnovni rob krajši?
5. Kakšne so razlike v izračunih za nepravilne piramide?

Nasvet:

Pri izračunu stranskih ploskev pravilnih piramid lahko pogosto uporabite Pitagorov izrek za določitev stranskih višin.