Решение 1: Поиск площади трапеции ABCD

Дано:

• Основания трапеции: $BC = 4$, $AD = 12$
• Площадь $\triangle BOC = 8$
• Прямые, содержащие боковые стороны, пересекаются в точке $O$, значит, трапеция — подобная.

Используем свойство, что отношение оснований равно отношению площадей треугольников с вершиной $O$:

$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2$

Подставляем:

$\frac{S_{\triangle AOD}}{8} = \left(\frac{12}{4}\right)^2 = 9$

Отсюда:

$S_{\triangle AOD} = 8 \times 9 = 72$

Площадь трапеции:

$S = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOD} = 8 + 72 = 80$

Ответ 1:

$\boxed{80}$

---

Решение 2: Поиск BD

Дано:

• $BC = 5$, $AD = 45$
• Углы $\angle BDC = \angle BAD$ (трапеция — подобная)

Используем свойство подобия:

$\frac{BD}{BC} = \frac{AD}{BC}$

$BD = BC \times \frac{AD}{BC} = 5 \times \frac{45}{5} = 45$

Ответ 2:

$\boxed{45}$

---

Вопросы для размышления:

1. Как найти высоту трапеции, если известны её основания и площадь?
2. Какие свойства имеют подобные треугольники в пересекающихся боковых сторонах трапеции?
3. Как доказать, что углы $\angle BDC$ и $\angle BAD$ действительно равны?
4. Как выразить отношение площадей через коэффициент подобия?
5. Можно ли использовать формулу средней линии для проверки результата?

Совет:

При работе с пересекающимися боковыми сторонами трапеции полезно использовать свойства подобия треугольников.