Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Множество: $A = \{1, 2, \dots, 100\}$
• Отношение $P$ определяется как: $xPy$, если и только если $x > y + 3$.

Мы ищем количество пар, которое содержится в транзитивном замыкании $P_T$.

---

1. Анализ исходного отношения $P$

Отношение $P$ состоит из всех пар $(x, y)$, где $x > y + 3$. Для фиксированного $x$, $y$ может принимать значения $1, 2, \dots, x - 4$. Количество таких значений $y$ для фиксированного $x$ равно $x - 4$ (если $x > 4$).

Общее количество пар в исходном отношении $P$ можно вычислить следующим образом:

$|P| = \sum_{x=5}^{100} (x - 4)$

$|P| = (5 - 4) + (6 - 4) + \dots + (100 - 4)$

$|P| = \sum_{x=5}^{100} (x - 4) = \sum_{x=5}^{100} x - \sum_{x=5}^{100} 4$

$|P| = \sum_{x=1}^{100} x - \sum_{x=1}^{4} x - 4 \cdot 96$

$\sum_{x=1}^{100} x = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

$\sum_{x=1}^{4} x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

$|P| = 5050 - 10 - 384 = 4656$

Итак, исходное отношение $P$ содержит 4656 пар.

---

2. Транзитивное замыкание $P_T$

Транзитивное замыкание отношения $P$ добавляет все пары $(x, z)$, которые выводятся через промежуточные элементы. Если $xPy$ и $yPz$, то $xPz$ добавляется в транзитивное замыкание.

Как найти количество пар в $P_T$?

При $x > z + 3$, мы добавляем $(x, z)$ в $P_T$. Таким образом, $P_T$ фактически включает все пары $(x, z)$, где $x > z$.

Для фиксированного $x$, $z$ может принимать значения $1, 2, \dots, x - 1$. Количество таких пар для фиксированного $x$ равно $x - 1$.

Общее количество пар в $P_T$:

$|P_T| = \sum_{x=2}^{100} (x - 1)$

$|P_T| = (2 - 1) + (3 - 1) + \dots + (100 - 1)$

$|P_T| = \sum_{x=2}^{100} (x - 1) = \sum_{x=2}^{100} x - \sum_{x=2}^{100} 1$

$|P_T| = \sum_{x=1}^{100} x - \sum_{x=1}^{1} x - 99$

$|P_T| = 5050 - 1 - 99 = 4950$

---

Ответ:

Транзитивное замыкание $P_T$ будет содержать 4950 пар.

---

Хотите подробное объяснение или помощь с другим примером?

---

5 Вопросов для углубления:

1. Что такое транзитивное замыкание и как его формально определить?
2. Как рассчитать количество элементов в отношении $P$ для более общего правила $xPy$?
3. Как изменится решение, если $P$ задано другим условием (например, $x \geq y + 3$)?
4. Почему $P_T$ включает все пары $(x, z)$, где $x > z$?
5. Можно ли автоматизировать вычисление подобных задач?

Один совет:

Всегда проверяйте граничные случаи (например, минимальные и максимальные значения $x$ и $y$) в условиях задачи, чтобы избежать ошибок в суммах или диапазонах.