Math Problem Statement

реши

Бинарное отношение содержит 8 пар. Может ли его транзитивное замыкание содержать: a) более 50 пар; б) более 550 пар?

Solution

Задача 328.

Дано бинарное отношение, содержащее 8 пар. Вопросы:
а) Может ли его транзитивное замыкание содержать более 50 пар?
б) Может ли его транзитивное замыкание содержать более 550 пар?


Решение:

1. Общее количество элементов:

Пусть бинарное отношение задано на множестве AA, содержащее nn элементов. Максимальное число пар в бинарном отношении на множестве AA равно n2n^2, так как каждое aiAa_i \in A может быть связано с каждым ajAa_j \in A.

2. Транзитивное замыкание:

Транзитивное замыкание добавляет пары, если существует цепочка, связывающая элементы через промежуточные узлы. Если из aba \rightarrow b и bcb \rightarrow c следует aca \rightarrow c, то такая пара будет добавлена.


а) Может ли транзитивное замыкание содержать более 50 пар?

Чтобы транзитивное замыкание содержало более 50 пар, число элементов nn должно быть достаточно большим.

Формула для оценки максимального числа пар в транзитивном замыкании: n2>50n^2 > 50 n>507.07n > \sqrt{50} \approx 7.07

Следовательно, если отношение задано на множестве хотя бы из 8 элементов, транзитивное замыкание может содержать более 50 пар.


б) Может ли транзитивное замыкание содержать более 550 пар?

Оценим необходимое число элементов: n2>550n^2 > 550 n>55023.45n > \sqrt{550} \approx 23.45

Таким образом, транзитивное замыкание может содержать более 550 пар, если множество содержит хотя бы 24 элемента. Если же множество состоит из меньшего количества элементов, это невозможно.


Ответ:

  • а) Да, может содержать более 50 пар, если множество содержит как минимум 8 элементов.
  • б) Нет, не может содержать более 550 пар, если множество содержит меньше 24 элементов.

Есть ли что-то, что нужно уточнить?

  1. Что такое транзитивное замыкание?
  2. Каковы свойства транзитивных отношений?
  3. Как формируется транзитивное замыкание через графы?
  4. Какие примеры бинарных отношений можно привести?
  5. Как найти транзитивное замыкание для заданного отношения?

Совет: Для нахождения транзитивного замыкания удобно использовать алгоритм Флойда-Уоршалла в задачах с графами.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Binary relations
Transitive closure
Set theory

Formulas

n^2 > X (for the maximum number of pairs in a relation on a set of n elements)

Theorems

Properties of transitive closure
Maximum possible pairs in binary relations

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics or Advanced High School