直線y＝axが放物線y=x^2-2x+2に異なる2点P，Qで交わるとき、点P，Qと点R（1,0）の作る三角形の重心をGとする。aを動かしたときの点Gの軌跡を求めよ。

直線 \( y = ax \) と放物線 \( y = x^2 - 2x + 2 \) の交点を考えます。

1. **交点の条件**
   直線と放物線の交点の \( x \)-座標は、以下の方程式の解になります。
   \[
   ax = x^2 - 2x + 2
   \]
   両辺を整理して、二次方程式にします。
   \[
   x^2 - (2 + a)x + 2 = 0
   \]
   この方程式が異なる2つの解を持つためには、判別式が正である必要があります。
   判別式 \( D \) は
   \[
   D = (-(2 + a))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = (2 + a)^2 - 8 = a^2 + 4a - 4
   \]
   よって、\( D > 0 \) となる \( a \) の範囲で異なる2点 \( P \) と \( Q \) が存在します。

2. **交点の座標**
   上記の二次方程式の解を \( x_1 \) と \( x_2 \) とすると、\( P(x_1, ax_1) \) と \( Q(x_2, ax_2) \) が直線と放物線の交点です。

3. **三角形 \( PQR \) の重心 \( G \)**
   三角形 \( PQR \) の重心 \( G \) の座標は次のように計算できます。
   \[
   G = \left( \frac{x_1 + x_2 + 1}{3}, \frac{ax_1 + ax_2 + 0}{3} \right)
   \]
   \( x_1 \) と \( x_2 \) は二次方程式 \( x^2 - (2 + a)x + 2 = 0 \) の解であり、解と係数の関係より
   \[
   x_1 + x_2 = 2 + a, \quad x_1 x_2 = 2
   \]
   したがって、重心 \( G \) の座標は次のように表せます。
   \[
   G = \left( \frac{(2 + a) + 1}{3}, \frac{a(2 + a)}{3} \right) = \left( \frac{3 + a}{3}, \frac{a^2 + 2a}{3} \right)
   \]

4. **点 \( G \) の軌跡**
   \( G \) の座標を \( (X, Y) \) と置くと、
   \[
   X = \frac{3 + a}{3}, \quad Y = \frac{a^2 + 2a}{3}
   \]
   これを \( a \) について解くと、まず \( a = 3X - 3 \) となります。これを \( Y \) の式に代入して \( X \) と \( Y \) の関係を求めます。
   \[
   Y = \frac{(3X - 3)^2 + 2(3X - 3)}{3}
   \]
   展開して整理すると、
   \[
   Y = 3X^2 - 4X + 1
   \]
   よって、点 \( G \) の軌跡は次の放物線になります。
   \[
   Y = 3X^2 - 4X + 1
   \]

### 回答
点 \( G \) の軌跡は、放物線
\[
Y = 3X^2 - 4X + 1
\]
です。

他に質問や詳しい説明が必要であれば教えてくださいね。

---

### 関連問題
1. 直線 \( y = ax \) が放物線 \( y = x^2 - 2x + 2 \) に接する場合の \( a \) の値を求めよ。
2. 直線 \( y = ax + b \) が放物線 \( y = x^2 - 2x + 2 \) に異なる2点で交わる条件を \( a \) と \( b \) について求めよ。
3. 三角形 \( PQR \) の面積が最大となるような \( a \) の値を求めよ。
4. 点 \( R \) の座標が変わるとき、三角形の重心 \( G \) の軌跡はどのように変わるか。
5. 交点 \( P \) と \( Q \) の中点の軌跡を求めよ。

### ワンポイントアドバイス
二次方程式の解と係数の関係は、放物線や直線との交点問題を解く際に役立つので、解の和と積を積極的に利用すると計算が簡単になります。

This problem explores the trajectory of the centroid G formed by the intersection points of the line y = ax and the parabola y = x^2 - 2x + 2, along with a third point. Learn how to calculate G's trajectory using the properties of quadratic equations and centroid formulas. Suitable for advanced high school students (Grades 11-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation