まず、与えられた条件を整理します。

1. 直線と放物線の交点を求める

直線 $y = ax$ と放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ の交点を求めるため、これらの方程式を連立します。

$ax = x^2 - 2x + 2$

この方程式を整理すると、

$x^2 - (a+2)x + 2 = 0$

この二次方程式の解を求めることで、交点 $P$ と $Q$ の $x$ 座標を見つけることができます。解の公式を使うと、

$x = \frac{(a+2) \pm \sqrt{(a+2)^2 - 8}}{2}$

$x = \frac{a+2 \pm \sqrt{a^2 + 4a - 4}}{2}$

よって、2つの異なる解を持つので、これが点 $P$ と $Q$ の $x$ 座標となります。

2. 重心の計算

点 $P$ と $Q$ の座標が $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$、そして点 $R$ の座標が $(1, 0)$ です。三角形の重心 $G$ は、次の式で与えられます。

$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + 1}{3}, \frac{y_1 + y_2 + 0}{3} \right)$

まず、点 $P$ と $Q$ の $y$ 座標は直線 $y = ax$ の式から、

$y_1 = ax_1, \quad y_2 = ax_2$

これを重心の式に代入すると、

$G_x = \frac{x_1 + x_2 + 1}{3}, \quad G_y = \frac{ax_1 + ax_2}{3} = \frac{a(x_1 + x_2)}{3}$

3. 軌跡を求める

点 $P$ と $Q$ の $x$ 座標の和は、二次方程式 $x^2 - (a+2)x + 2 = 0$ の係数から、

$x_1 + x_2 = a + 2$

したがって、重心の座標は次のようになります。

$G_x = \frac{(a + 2) + 1}{3} = \frac{a + 3}{3}$ $G_y = \frac{a(a + 2)}{3} = \frac{a^2 + 2a}{3}$

よって、重心 $G$ の軌跡は次の方程式で表されます。

$G = \left( \frac{a+3}{3}, \frac{a^2 + 2a}{3} \right)$

これが $a$ を動かしたときの点 $G$ の軌跡です。

4. パラメトリック方程式

この結果を $G_x$ と $G_y$ の関係式にまとめると、

$G_y = G_x^2 - 1$

したがって、点 $G$ の軌跡は放物線 $G_y = G_x^2 - 1$ となります。

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この解答に関して、詳細な説明や質問はありますか？

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1つのヒント

軌跡を求める際、重心の座標は常に三角形の各頂点の座標の平均として求められるので、動く直線が絡む問題ではこの性質を活用すると便利です。