Влак изминавал по разписание разстоянието между гарите А и В, движейки се сыс скорост 48 km/h. Един ден, след като изминал 8% от целия пьт, се наложило да направи непредвиден престой от 48 min. За да навакса закъс-нението, машинисть увеличил скоростта със 7,2 km/h и пристигнал навре-ме в В. Намерете:

а) разстоянието между двете гари;

б) за колко време влакьт изминава разстоянието от А до В по разписа-ние.

Нека разгледаме задачата на части и решим двата въпроса последователно.

### Нека:
- \( d \) е разстоянието между гарите \( A \) и \( B \) в километри.
- \( v = 48 \, \text{km/h} \) е първоначалната скорост на влака по разписание.
- \( v' = v + 7.2 = 48 + 7.2 = 55.2 \, \text{km/h} \) е увеличената скорост след престоя.
- \( t \) е времето, за което влакът изминава разстоянието \( d \) по разписание, в часове.
- 48 минути = \( 48/60 = 0.8 \, \text{часа} \) е престоят.

### Стъпка 1: Изразяване на разстоянието и времето
По условие влакът изминал 8% от разстоянието \( d \) със скорост \( v \) и след това престоял 48 минути. За да навакса закъснението, машинистът увеличил скоростта със 7.2 км/ч и успял да пристигне навреме.

8% от разстоянието \( d \) е \( 0.08d \). Времето, за което влакът е изминал този участък, е:
\[
t_1 = \frac{0.08d}{v} = \frac{0.08d}{48}
\]

След това влакът изминава останалото разстояние \( 0.92d \) със скорост \( v' \). Времето, за което изминава това разстояние, е:
\[
t_2 = \frac{0.92d}{v'} = \frac{0.92d}{55.2}
\]

### Стъпка 2: Общото време
Общото време, което влакът е трябвало да изразходва, е \( t \), но поради престоя от 48 минути, изминатото време става \( t_1 + t_2 + 0.8 \). Тъй като влакът все пак пристига навреме, можем да изразим следното равенство:
\[
t_1 + t_2 + 0.8 = t
\]
Същевременно времето по разписание за цялото разстояние е:
\[
t = \frac{d}{v} = \frac{d}{48}
\]

### Стъпка 3: Създаване на уравнение
Заместваме изразите за \( t_1 \), \( t_2 \), и \( t \) в основното уравнение:
\[
\frac{0.08d}{48} + \frac{0.92d}{55.2} + 0.8 = \frac{d}{48}
\]
Сега трябва да решим това уравнение за \( d \).

### Стъпка 4: Решаване на уравнението
Първо ще съберем подобните членове. След изваждане на \( \frac{0.08d}{48} \) от двете страни, получаваме:
\[
\frac{0.92d}{55.2} + 0.8 = \frac{0.92d}{48}
\]

Изваждаме \( \frac{0.92d}{55.2} \) от двете страни:
\[
0.8 = \frac{0.92d}{48} - \frac{0.92d}{55.2}
\]

Изнасяме \( 0.92d \) като общ множител:
\[
0.8 = 0.92d \left( \frac{1}{48} - \frac{1}{55.2} \right)
\]

Намираме разликата между дробите:
\[
\frac{1}{48} - \frac{1}{55.2} = \frac{55.2 - 48}{48 \times 55.2} = \frac{7.2}{48 \times 55.2}
\]
\[
\frac{7.2}{48 \times 55.2} \approx 0.0027
\]

Следователно:
\[
0.8 = 0.92d \times 0.0027
\]
\[
d = \frac{0.8}{0.92 \times 0.0027} \approx 320 \, \text{km}
\]

### Стъпка 5: Намиране на времето по разписание
Времето по разписание е:
\[
t = \frac{d}{v} = \frac{320}{48} \approx 6.67 \, \text{часа} \, \text{или} \, 6 \, \text{часа и} \, 40 \, \text{минути}
\]

### Отговор:
а) Разстоянието между гарите е \( 320 \, \text{km} \).  
б) Времето, за което влакът изминава разстоянието по разписание, е \( 6 \, \text{часа и} \, 40 \, \text{минути} \).

Имате ли въпроси или искате допълнителни разяснения?

### Свързани въпроси:
1. Какъв би бил резултатът, ако скоростта се увеличи с повече от 7.2 км/ч?
2. Как ще се промени времето по разписание, ако разстоянието се увеличи?
3. Колко време ще е необходимо на влака да измине разстоянието при скорост от 55.2 км/ч през целия път?
4. Какви други фактори биха могли да повлияят на времето на пристигане?
5. Как можем да променим задачата, за да отчетем различни скорости на влака по различни участъци?

### Съвет: Когато решавате задачи с много параметри, проверявайте внимателно преобразуванията на формули и използваните дроби.

Влак изминавал по разписание разстоянието между гарите А и В, движейки се със скорост 48 km/h. Един ден, след като изминал 8% от целия път, се наложило да направи непредвиден престой от 48 min. За да навакса закъснението, машинистът увеличил скоростта със 7.2 km/h и пристигнал навреме в В. Намерете: а) разстоянието между двете гари; б) за колко време влакът изминава разстоянието от А до В по разписание.

Solve a real-world math problem involving a train traveling between stations A and B at 48 km/h, with an unplanned stop. Learn how to calculate the distance between stations and the scheduled travel time using algebraic methods and speed-time relationships. Suitable for Grades 9-10 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation