Mari kita selesaikan soal ini secara rinci:

Diberikan:

Fungsi:
$f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$

Langkah 1: Hitung turunan parsial yang diperlukan.

• $f_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{x^2 + y^2} = 2x e^{x^2 + y^2}$
• $f_y = \frac{\partial}{\partial y} e^{x^2 + y^2} = 2y e^{x^2 + y^2}$
• $f_{xx} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} e^{x^2 + y^2} = 2e^{x^2 + y^2} + 4x^2 e^{x^2 + y^2}$
• $f_{yy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} e^{x^2 + y^2} = 2e^{x^2 + y^2} + 4y^2 e^{x^2 + y^2}$
• $f_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} e^{x^2 + y^2} = 4xy e^{x^2 + y^2}$

Evaluasi semua turunan di $(0, 0)$:

• $f(0, 0) = e^{0^2 + 0^2} = 1$
• $f_x(0, 0) = 2(0)e^{0^2 + 0^2} = 0$
• $f_y(0, 0) = 2(0)e^{0^2 + 0^2} = 0$
• $f_{xx}(0, 0) = 2e^{0^2 + 0^2} = 2$
• $f_{yy}(0, 0) = 2e^{0^2 + 0^2} = 2$
• $f_{xy}(0, 0) = 4(0)(0)e^{0^2 + 0^2} = 0$

Langkah 2: Bentuk polinom Taylor orde 2.
Polinom Taylor orde 2 untuk $f(x, y)$ di sekitar $(0, 0)$ adalah: $P_2(x, y) = f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0, 0)x^2 + \frac{1}{2}f_{yy}(0, 0)y^2 + f_{xy}(0, 0)xy$

Substitusi nilai: $P_2(x, y) = 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot y + \frac{1}{2}(2)x^2 + \frac{1}{2}(2)y^2 + 0 \cdot xy$ $P_2(x, y) = 1 + x^2 + y^2$

Langkah 3: Estimasi $f(0.1, 0.2)$.
Substitusi $x = 0.1$ dan $y = 0.2$ ke dalam $P_2(x, y)$: $P_2(0.1, 0.2) = 1 + (0.1)^2 + (0.2)^2$ $P_2(0.1, 0.2) = 1 + 0.01 + 0.04 = 1.05$

Jawaban:

Polinom Taylor orde 2: $P_2(x, y) = 1 + x^2 + y^2$ Estimasi $f(0.1, 0.2)$: $f(0.1, 0.2) \approx P_2(0.1, 0.2) = 1.05$

Apakah Anda memerlukan penjelasan tambahan?
Berikut adalah 5 pertanyaan terkait yang dapat memperluas pemahaman Anda:

1. Bagaimana cara menghitung turunan parsial pada fungsi yang lebih kompleks?
2. Mengapa kita menghentikan deret Taylor pada orde kedua?
3. Bagaimana akurasi deret Taylor dibandingkan dengan nilai asli $f(0.1, 0.2)$?
4. Apa aplikasi nyata dari polinom Taylor dalam estimasi fungsi?
5. Bagaimana deret Taylor berbeda dalam ruang 3 dimensi (x, y, z)?

Tip: Saat menggunakan polinom Taylor untuk estimasi, semakin tinggi ordo yang digunakan, semakin akurat hasilnya di dekat titik pusat ekspansi.