знайти кілька перших членів розкладу функції e^x sin y в ряд Тейлора в окружності точки (0;0)

Щоб знайти кілька перших членів розкладу функції \( f(x, y) = e^x \sin y \) в ряд Тейлора навколо точки \( (0, 0) \), ми можемо скористатися формулою для багатовимірного ряду Тейлора. 

### Загальний вигляд ряду Тейлора:

Розклад функції двох змінних \( f(x, y) \) у ряд Тейлора в околі точки \( (0, 0) \) має вигляд:

\[
f(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) y + \frac{1}{2!} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) x^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) x y + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) y^2 \right) + \dots
\]

### Кроки:

1. **Обчислимо значення функції в точці \( (0, 0) \)**:
   \[
   f(0, 0) = e^0 \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0
   \]

2. **Обчислимо перші похідні**:

   \[
   \frac{\partial f}{\partial x} = e^x \sin y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = e^0 \sin 0 = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = e^0 \cos 0 = 1
   \]

3. **Обчислимо другі похідні**:

   \[
   \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^x \sin y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -e^x \sin y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^x \cos y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = 1
   \]

4. **Записуємо розклад**:

\[
f(x, y) \approx 0 + 0 \cdot x + 1 \cdot y + \frac{1}{2!} \left( 0 \cdot x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x y + 0 \cdot y^2 \right)
\]
\[
f(x, y) \approx y + x y
\]

Отже, перші кілька членів ряду Тейлора функції \( e^x \sin y \) в околі точки \( (0, 0) \) є:

\[
f(x, y) \approx y + xy
\]

### Хочете більше деталей або маєте запитання?

**Схожі питання**:
1. Як знайти ряд Тейлора для \( \cos(x) \sin(y) \) в точці \( (0, 0) \)?
2. Як розвинути функцію \( e^{xy} \) в ряд Тейлора навколо точки \( (0, 0) \)?
3. Як виглядатиме розклад функції \( \sin(xy) \) у ряд Тейлора в точці \( (0, 0) \)?
4. Як знайти повний ряд Тейлора для функції \( e^x \cos(y) \) навколо точки \( (0, 0) \)?
5. Як використовувати похідні для розкладу функцій багатьох змінних?

**Порада**: Для багатовимірних функцій обчислення рядів Тейлора вимагає обчислення похідних всіх змінних, але можна обмежитися кількома першими членами для наближених результатів.

Explore the Taylor series expansion of the function e^x sin y around the point (0, 0). This problem involves key multivariable calculus concepts like partial derivatives and the Taylor series. The first few terms of the expansion are calculated using the exponential and trigonometric function properties.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation