Щоб знайти кілька перших членів розкладу функції $f(x, y) = e^x \sin y$ в ряд Тейлора навколо точки $(0, 0)$, ми можемо скористатися формулою для багатовимірного ряду Тейлора.

Загальний вигляд ряду Тейлора:

Розклад функції двох змінних $f(x, y)$ у ряд Тейлора в околі точки $(0, 0)$ має вигляд:

$f(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) y + \frac{1}{2!} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) x^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) x y + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) y^2 \right) + \dots$

Кроки:

1. Обчислимо значення функції в точці $(0, 0)$: $f(0, 0) = e^0 \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0$

2. Обчислимо перші похідні:

   $\frac{\partial f}{\partial x} = e^x \sin y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = e^0 \sin 0 = 0$ $\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = e^0 \cos 0 = 1$

3. Обчислимо другі похідні:

   $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^x \sin y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) = 0$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -e^x \sin y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) = 0$ $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^x \cos y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = 1$

4. Записуємо розклад:

$f(x, y) \approx 0 + 0 \cdot x + 1 \cdot y + \frac{1}{2!} \left( 0 \cdot x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x y + 0 \cdot y^2 \right)$ $f(x, y) \approx y + x y$

Отже, перші кілька членів ряду Тейлора функції $e^x \sin y$ в околі точки $(0, 0)$ є:

$f(x, y) \approx y + xy$

Хочете більше деталей або маєте запитання?

Схожі питання:

1. Як знайти ряд Тейлора для $\cos(x) \sin(y)$ в точці $(0, 0)$?
2. Як розвинути функцію $e^{xy}$ в ряд Тейлора навколо точки $(0, 0)$?
3. Як виглядатиме розклад функції $\sin(xy)$ у ряд Тейлора в точці $(0, 0)$?
4. Як знайти повний ряд Тейлора для функції $e^x \cos(y)$ навколо точки $(0, 0)$?
5. Як використовувати похідні для розкладу функцій багатьох змінних?

Порада: Для багатовимірних функцій обчислення рядів Тейлора вимагає обчислення похідних всіх змінних, але можна обмежитися кількома першими членами для наближених результатів.