Dari titik (-3,b) ditarik dari garis menyinggung parabole y²=16x.jika garis singgung tersebut tegak lurus dengan garis 2y+x=6, maka nilai b sama dengan...

Diketahui persamaan parabola adalah \( y^2 = 16x \) dan ada garis singgung yang melalui titik \((-3, b)\). Garis singgung ini tegak lurus dengan garis \( 2y + x = 6 \).

### Langkah 1: Tentukan gradien garis yang tegak lurus
Pertama, kita perlu mencari gradien dari garis \( 2y + x = 6 \). Ubah persamaan tersebut ke dalam bentuk umum \( y = mx + c \) untuk mengetahui gradiennya.

\[
2y = -x + 6
\]
\[
y = -\frac{1}{2}x + 3
\]

Gradien \( m \) dari garis ini adalah \( -\frac{1}{2} \). Karena garis singgung yang dimaksud tegak lurus dengan garis ini, gradiennya adalah kebalikan negatif dari \( -\frac{1}{2} \), yaitu \( m = 2 \).

### Langkah 2: Turunan parabola
Persamaan parabola \( y^2 = 16x \) dapat ditulis ulang sebagai \( x = \frac{y^2}{16} \). Untuk menemukan gradien garis singgung parabola, kita turunkan persamaan ini terhadap \( x \).

\[
2y \frac{dy}{dx} = 16 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}
\]

Gradien garis singgung parabola adalah \( \frac{8}{y} \). Karena gradien garis singgung harus sama dengan 2 (hasil dari langkah sebelumnya), kita setarakan:

\[
\frac{8}{y} = 2
\]
\[
y = 4
\]

### Langkah 3: Substitusi nilai y ke persamaan parabola
Sekarang kita substitusi nilai \( y = 4 \) ke persamaan parabola \( y^2 = 16x \) untuk mendapatkan nilai \( x \):

\[
4^2 = 16x \quad \Rightarrow \quad 16 = 16x \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Jadi, titik singgungnya adalah \( (1, 4) \).

### Langkah 4: Tentukan nilai b
Sekarang kita tahu bahwa garis singgung melewati titik \((-3, b)\) dan juga melewati titik \( (1, 4) \) dengan gradien \( m = 2 \). Kita gunakan persamaan garis untuk mencari \( b \). Persamaan garis dalam bentuk \( y - y_1 = m(x - x_1) \) adalah:

\[
y - 4 = 2(x - 1)
\]
\[
y - 4 = 2x - 2
\]
\[
y = 2x + 2
\]

Substitusi titik \( (-3, b) \) ke dalam persamaan ini:

\[
b = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4
\]

Jadi, nilai \( b \) adalah \( \boxed{-4} \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung gradien garis yang tegak lurus?
2. Mengapa kita harus menurunkan persamaan parabola untuk menemukan gradien garis singgung?
3. Bagaimana proses penyusunan persamaan garis dari dua titik?
4. Apa hubungan antara parabola dan garis singgungnya dalam konteks ini?
5. Bagaimana penggunaan kebalikan negatif dari gradien dalam menentukan garis tegak lurus?

**Tip**: Untuk garis yang tegak lurus, gradien satu garis dikalikan dengan gradien garis lainnya selalu menghasilkan -1.

Dari titik (-3,b) ditarik dari garis menyinggung parabole y²=16x. Jika garis singgung tersebut tegak lurus dengan garis 2y + x = 6, maka nilai b sama dengan...

Solve for b in a problem where the tangent line to the parabola y²=16x passes through the point (-3, b) and is perpendicular to the line 2y + x = 6. This solution involves concepts of algebra, gradients of lines, and tangents to parabolas. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation