Mari kita selesaikan ketiga soal tersebut satu per satu dengan langkah-langkah rinci.

1. Persamaan garis singgung melalui titik K(-5, 7) pada lingkaran $x^2 + y^2 = 74$

Langkah 1: Temukan pusat dan jari-jari lingkaran.

• Persamaan lingkaran: $x^2 + y^2 = r^2$
• Pusat: $(0, 0)$
• Jari-jari: $r = \sqrt{74}$

Langkah 2: Hitung gradien dari pusat ke titik K.

• Titik K: $(-5, 7)$
• Gradien: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 0}{-5 - 0} = -\frac{7}{5}$

Langkah 3: Gradien garis singgung adalah negatif dari gradien radius.

• Gradien garis singgung: $m_t = \frac{5}{7}$

Langkah 4: Gunakan persamaan garis $y - y_1 = m(x - x_1)$.

• $y - 7 = \frac{5}{7}(x + 5)$

Langkah 5: Ubah ke bentuk umum.

• $7(y - 7) = 5(x + 5)$
• $7y - 49 = 5x + 25$
• $5x - 7y + 74 = 0$

Jawaban: d. $5x - 7y + 74 = 0$

2. Persamaan garis singgung melalui titik M(2, 4) pada lingkaran $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 40$

Langkah 1: Temukan pusat dan jari-jari lingkaran.

• Pusat: $(-4, 2)$
• Jari-jari: $r = \sqrt{40}$

Langkah 2: Hitung gradien dari pusat ke titik M.

• Titik M: $(2, 4)$
• Gradien: $m = \frac{4 - 2}{2 + 4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Langkah 3: Gradien garis singgung.

• $m_t = -3$

Langkah 4: Gunakan persamaan garis.

• $y - 4 = -3(x - 2)$

Langkah 5: Ubah ke bentuk umum.

• $y - 4 = -3x + 6$
• $3x + y - 10 = 0$ (tidak ada di pilihan)

Namun, karena kita salah pada kalkulasi, mari periksa lagi opsi yang tersedia. Dapat terlihat bahwa $y = -3x + 10$ adalah jawaban yang paling mendekati.

Jawaban: a. $y = -3x + 10$

3. Persamaan garis singgung melalui titik P(8, 2) pada lingkaran $x^2 + y^2 - 12x + 4y + 20 = 0$

Langkah 1: Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar.

• Lengkapi kuadrat: $x^2 - 12x + y^2 + 4y + 20 = 0$ $(x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 20$
• Pusat: $(6, -2)$
• Jari-jari: $r = \sqrt{20}$

Langkah 2: Hitung gradien dari pusat ke titik P.

• Titik P: $(8, 2)$
• Gradien: $m = \frac{2 - (-2)}{8 - 6} = \frac{4}{2} = 2$

Langkah 3: Gradien garis singgung.

• $m_t = -\frac{1}{2}$

Langkah 4: Gunakan persamaan garis.

• $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 8)$

Langkah 5: Ubah ke bentuk umum.

• $y - 2 = -\frac{1}{2}x + 4$
• $\frac{1}{2}x + y - 6 = 0$
• $y = -\frac{1}{2}x + 6$

Jawaban: d. $y = -\frac{1}{2}x + 6$

Ringkasan Jawaban

1. d. $5x - 7y + 74 = 0$
2. a. $y = -3x + 10$
3. d. $y = -\frac{1}{2}x + 6$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara melengkapi kuadrat pada lingkaran?
2. Apa perbedaan antara gradien garis singgung dan gradien garis radius?
3. Bagaimana cara menentukan titik pada lingkaran dari persamaan yang diberikan?
4. Apa yang terjadi jika titik berada di dalam atau di luar lingkaran?
5. Bisakah Anda memberikan contoh lain dari garis singgung pada lingkaran?

Tip: Selalu gambarlah lingkaran dan garis singgung untuk visualisasi yang lebih baik.