Math Problem Statement
Styczna do funkcji f(x) = (x+1)sqrt^3(3-x) wzor na styczna to y = f(1) + f'(1) * (x - 1)
Solution
Aby wyznaczyć równanie stycznej do funkcji w punkcie , musimy znaleźć dwa elementy:
- Wartość funkcji .
- Pochodną funkcji i wartość .
Krok 1: Obliczenie
Podstawiamy do funkcji :
[ f(1) = (1 + 1) \sqrt[3]{3 - 1} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} ]
Czyli:
Krok 2: Obliczenie pochodnej
Funkcję można zapisać jako iloczyn dwóch funkcji:
Zastosujemy regułę iloczynu, aby obliczyć pochodną :
Stosujemy wzór na pochodną iloczynu:
[ f'(x) = (x+1)' \cdot \sqrt[3]{3 - x} + (x+1) \cdot \left( \sqrt[3]{3 - x} \right)' ]
Obliczamy pochodne składników:
- Pochodna to:
Zatem:
Krok 3: Obliczenie
Podstawiamy do wyrażenia na :
Powyższą wartość możemy zostawić w tej postaci, lub przybliżyć numerycznie.
Krok 4: Równanie stycznej
Znamy już i . Podstawiamy je do wzoru na styczną:
Podstawiając wartości:
[ y = 2 \sqrt[3]{2} + \left( \sqrt[3]{2} - \frac{2}{3} \cdot 2^{-2/3} \right) \cdot (x - 1) ]
To jest równanie stycznej do funkcji w punkcie .
Czy potrzebujesz dodatkowych wyjaśnień lub przybliżonych wartości numerycznych?
Oto kilka pytań, które mogą pomóc w zrozumieniu zagadnienia:
- Jak obliczyć pochodną funkcji złożonej, np. ?
- Jak obliczyć pochodną iloczynu dwóch funkcji?
- Jak interpretować geometrie stycznej do funkcji w danym punkcie?
- Jak przybliżyć wartości pierwiastków sześciennych i ich pochodnych?
- Jakie są zastosowania stycznych w matematyce?
Tip: Pamiętaj, że reguła iloczynu i pochodna funkcji złożonej są kluczowe przy rozwiązywaniu takich zadań.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Derivative
Tangent Line
Product Rule
Composite Functions
Cubic Roots
Formulas
y = f(a) + f'(a) * (x - a)
Product Rule: (uv)' = u'v + uv'
Derivative of a Composite Function: (g(x)^n)' = n * g(x)^(n-1) * g'(x)
Theorems
Rule for Tangent Line
Product Rule for Derivatives
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Finding the Equation of the Tangent Line to f(x) = (x+1)sqrt^3(3-x) at x = 1
How to Find the Tangent Line to f(x) = (x+1) * cubeRoot(3-x) at x = 1
Finding the Tangent Line to f(x) = (x+1)(3-x)^(1/3) at m_o = 1
Find the Equation of the Tangent Line to f(x) = 3x² - 12x + 1 at (0, 1)
Tangent Line to the Function f(x) = (x+1) * sqrt^3(3-x) with Slope m_0 = 1