Math Problem Statement

Styczna do funkcji f(x) = (x+1)sqrt^3(3-x) wzor na styczna to y = f(1) + f'(1) * (x - 1)

Solution

Aby wyznaczyć równanie stycznej do funkcji f(x)=(x+1)3x3f(x) = (x+1)\sqrt[3]{3-x} w punkcie x=1x = 1, musimy znaleźć dwa elementy:

  1. Wartość funkcji f(1)f(1).
  2. Pochodną funkcji f(x)f'(x) i wartość f(1)f'(1).

Krok 1: Obliczenie f(1)f(1)

Podstawiamy x=1x = 1 do funkcji f(x)f(x):

[ f(1) = (1 + 1) \sqrt[3]{3 - 1} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} ]

Czyli:

f(1)=223f(1) = 2 \sqrt[3]{2}

Krok 2: Obliczenie pochodnej f(x)f'(x)

Funkcję f(x)f(x) można zapisać jako iloczyn dwóch funkcji:

f(x)=(x+1)3x3f(x) = (x+1) \cdot \sqrt[3]{3 - x}

Zastosujemy regułę iloczynu, aby obliczyć pochodną f(x)f'(x):

f(x)=ddx((x+1)3x3)f'(x) = \frac{d}{dx}\left( (x+1) \cdot \sqrt[3]{3 - x} \right)

Stosujemy wzór na pochodną iloczynu:

[ f'(x) = (x+1)' \cdot \sqrt[3]{3 - x} + (x+1) \cdot \left( \sqrt[3]{3 - x} \right)' ]

Obliczamy pochodne składników:

  • (x+1)=1(x+1)' = 1
  • Pochodna (3x3)\left( \sqrt[3]{3 - x} \right)' to: ddx((3x)1/3)=13(3x)2/3(1)=13(3x)2/3\frac{d}{dx} \left( (3 - x)^{1/3} \right) = \frac{1}{3} \cdot (3 - x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3} \cdot (3 - x)^{-2/3}

Zatem:

f(x)=3x3x+13(3x)2/3f'(x) = \sqrt[3]{3 - x} - \frac{x + 1}{3} \cdot (3 - x)^{-2/3}

Krok 3: Obliczenie f(1)f'(1)

Podstawiamy x=1x = 1 do wyrażenia na f(x)f'(x):

f(1)=3131+13(31)2/3f'(1) = \sqrt[3]{3 - 1} - \frac{1 + 1}{3} \cdot (3 - 1)^{-2/3}

f(1)=232322/3f'(1) = \sqrt[3]{2} - \frac{2}{3} \cdot 2^{-2/3}

Powyższą wartość możemy zostawić w tej postaci, lub przybliżyć numerycznie.

Krok 4: Równanie stycznej

Znamy już f(1)f(1) i f(1)f'(1). Podstawiamy je do wzoru na styczną:

y=f(1)+f(1)(x1)y = f(1) + f'(1) \cdot (x - 1)

Podstawiając wartości:

[ y = 2 \sqrt[3]{2} + \left( \sqrt[3]{2} - \frac{2}{3} \cdot 2^{-2/3} \right) \cdot (x - 1) ]

To jest równanie stycznej do funkcji f(x)f(x) w punkcie x=1x = 1.

Czy potrzebujesz dodatkowych wyjaśnień lub przybliżonych wartości numerycznych?

Oto kilka pytań, które mogą pomóc w zrozumieniu zagadnienia:

  1. Jak obliczyć pochodną funkcji złożonej, np. 3x3\sqrt[3]{3-x}?
  2. Jak obliczyć pochodną iloczynu dwóch funkcji?
  3. Jak interpretować geometrie stycznej do funkcji w danym punkcie?
  4. Jak przybliżyć wartości pierwiastków sześciennych i ich pochodnych?
  5. Jakie są zastosowania stycznych w matematyce?

Tip: Pamiętaj, że reguła iloczynu i pochodna funkcji złożonej są kluczowe przy rozwiązywaniu takich zadań.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Derivative
Tangent Line
Product Rule
Composite Functions
Cubic Roots

Formulas

y = f(a) + f'(a) * (x - a)
Product Rule: (uv)' = u'v + uv'
Derivative of a Composite Function: (g(x)^n)' = n * g(x)^(n-1) * g'(x)

Theorems

Rule for Tangent Line
Product Rule for Derivatives

Suitable Grade Level

Grades 10-12