Aby znaleźć wzór na styczną do funkcji $f(x) = (x+1)\sqrt[3]{3-x}$ w punkcie $x_o$, musimy przejść przez kilka kroków:

1. Obliczyć wartość funkcji w punkcie $x_o$: $f(x_o)$

2. Obliczyć pochodną funkcji: $f'(x)$ – pochodna funkcji względem $x$.

3. Obliczyć wartość pochodnej w punkcie $x_o$: $f'(x_o)$

4. Podstawienie tych wartości do wzoru na styczną: Wzór na styczną to: $y = f(x_o) + f'(x_o) \cdot (x - x_o)$

Na początku musimy określić, w którym punkcie chcesz znaleźć styczną, ponieważ podano jedynie $m_o = 1$, co może oznaczać, że współczynnik kierunkowy stycznej (pochodna w tym punkcie) ma wynosić 1. Jeśli to prawda, to musimy znaleźć taki punkt $x_o$, dla którego $f'(x_o) = 1$.

Krok 1: Obliczmy pochodną funkcji $f(x)$

Mamy funkcję: $f(x) = (x + 1) \sqrt[3]{3 - x}$

Aby obliczyć pochodną, będziemy stosować regułę iloczynu i łańcuchową.

Po pierwsze, zapiszmy funkcję w bardziej wygodnej formie: $f(x) = (x + 1)(3 - x)^{1/3}$

Pochodna tej funkcji to: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (x + 1) \cdot (3 - x)^{1/3} \right]$

Stosując regułę iloczynu: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x + 1) \cdot (3 - x)^{1/3} + (x + 1) \cdot \frac{d}{dx} (3 - x)^{1/3}$

Pochodna pierwszego składnika to: $\frac{d}{dx} (x + 1) = 1$

Pochodna drugiego składnika: $\frac{d}{dx} (3 - x)^{1/3} = \frac{1}{3} (3 - x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3} (3 - x)^{-2/3}$

Podstawiając to do wzoru: $f'(x) = (3 - x)^{1/3} - (x + 1) \cdot \frac{1}{3} (3 - x)^{-2/3}$

Krok 2: Obliczmy punkt $x_o$, dla którego $f'(x_o) = 1$

Teraz chcemy znaleźć taki punkt $x_o$, w którym pochodna wynosi 1: $f'(x_o) = 1$

Podstawiamy pochodną: $(3 - x_o)^{1/3} - \frac{(x_o + 1)}{3} (3 - x_o)^{-2/3} = 1$

Rozwiązywanie tego równania może wymagać przybliżonych metod numerycznych (np. Newtona) lub dalszej manipulacji algebraicznej. Jednakże w przypadku $m_o = 1$, można rozwiązać to równanie, aby znaleźć $x_o$.

Krok 3: Obliczanie wzoru na styczną

Kiedy już znajdziesz punkt $x_o$ i masz wartość $f'(x_o) = 1$, podstawiasz wartości do wzoru na styczną: $y = f(x_o) + f'(x_o) \cdot (x - x_o)$ co w tym przypadku upraszcza się do: $y = f(x_o) + (x - x_o)$

Jeśli chcesz, mogę spróbować wyznaczyć dokładną wartość punktu $x_o$, ale wymagałoby to rozwiązania wspomnianego równania.

Czy chciałbyś, abym kontynuował obliczenia? A może masz dodatkowe pytania dotyczące tego zagadnienia?

---

Rozszerzenia:

1. Jak obliczyć pochodną funkcji złożonej (np. $f(x) = (3 - x)^{1/3}$)?
2. Jakie techniki numeryczne można wykorzystać do rozwiązania równań nieliniowych, takich jak to dla $f'(x_o) = 1$?
3. Co to jest reguła iloczynu i jak ją zastosować w bardziej złożonych przypadkach?
4. Jakie są właściwości stycznej do funkcji w różnych punktach $x_o$?
5. Jak interpretować geometrię stycznej i jej zastosowanie w analizie funkcji?

---

Tip: Aby znaleźć styczną do funkcji w punkcie, zawsze oblicz wartość funkcji i jej pochodnej w tym punkcie, a potem zastosuj wzór na styczną.