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Escribir un sistema de ecuaciones lineales para el siguiente gráfico.

El gráfico que me proporcionas muestra dos líneas rectas, y el objetivo es escribir el sistema de ecuaciones lineales correspondientes a estas líneas. A partir de la imagen, puedo observar los siguientes puntos de interés en ambas líneas:

- Línea 1 pasa por los puntos \( (-3, -1) \) y \( (1, 3) \).
- Línea 2 pasa por los puntos \( (-4, 3) \) y \( (0, 7) \).

### Ecuaciones de las rectas

Para encontrar la ecuación de una recta en la forma pendiente-intersección \( y = mx + b \), necesitamos la pendiente \( m \) y la intersección con el eje \( y \) (es decir, el valor de \( b \)).

#### Línea 1:
1. La pendiente \( m \) se calcula usando los puntos \( (-3, -1) \) y \( (1, 3) \):
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-1)}{1 - (-3)} = \frac{4}{4} = 1
\]
2. Ahora usamos uno de los puntos para encontrar \( b \) en la ecuación \( y = mx + b \). Usamos el punto \( (-3, -1) \):
\[
-1 = 1(-3) + b \implies -1 = -3 + b \implies b = 2
\]
Por lo tanto, la ecuación de la primera línea es:
\[
y = x + 2
\]

#### Línea 2:
1. La pendiente \( m \) se calcula usando los puntos \( (-4, 3) \) y \( (0, 7) \):
\[
m = \frac{7 - 3}{0 - (-4)} = \frac{4}{4} = 1
\]
2. Usamos el punto \( (0, 7) \) para encontrar \( b \):
\[
7 = 1(0) + b \implies b = 7
\]
Por lo tanto, la ecuación de la segunda línea es:
\[
y = x + 7
\]

### Sistema de ecuaciones lineales:
\[
\begin{aligned}
1. & \quad y = x + 2 \\
2. & \quad y = x + 7
\end{aligned}
\]

Este es el sistema de ecuaciones lineales que describe las dos rectas en el gráfico.

¿Te gustaría obtener más detalles sobre el proceso o aclaraciones? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para seguir practicando:

1. ¿Qué representan geométricamente las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables?
2. ¿Cómo interpretas la pendiente de una recta en un gráfico?
3. ¿Qué sucede si las pendientes de dos rectas en un sistema son iguales pero los interceptos son diferentes?
4. ¿Cómo encuentras la intersección de dos rectas algebraicamente?
5. ¿Qué método algebraico prefieres usar para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación o eliminación?

**Tip:** Siempre que las pendientes de dos rectas sean iguales pero las ordenadas al origen sean diferentes, las líneas son paralelas y no se cruzan, lo que significa que el sistema de ecuaciones no tiene solución.

This problem involves writing a system of linear equations based on the graph provided. It covers key algebraic concepts such as finding the slope and intercepts of two parallel lines and forming equations. Suitable for students in Grades 8-10.

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