Рассмотрим систему уравнений:

1. $x + 5y = -5$
2. $x^2 + 16xy + 64y^2 - 12ax - 96ay + 45a^2 + 66a + 121 = 0$

Задача — найти все значения параметра $a$, при которых система имеет единственное решение.

Шаг 1: Извлечение выражения для $x$ из первого уравнения

Из первого уравнения $x + 5y = -5$ выразим $x$:

$x = -5 - 5y$

Шаг 2: Подставим выражение для $x$ во второе уравнение

Подставим $x = -5 - 5y$ во второе уравнение:

$(-5 - 5y)^2 + 16(-5 - 5y)y + 64y^2 - 12a(-5 - 5y) - 96ay + 45a^2 + 66a + 121 = 0$

Теперь раскроем и упростим все выражения:

1. $(-5 - 5y)^2 = 25 + 50y + 25y^2$
2. $16(-5 - 5y)y = -80y - 80y^2$
3. $-12a(-5 - 5y) = 60a + 60ay$
4. $-96ay = -96ay$

Получим:

$25 + 50y + 25y^2 - 80y - 80y^2 + 64y^2 + 60a + 60ay - 96ay + 45a^2 + 66a + 121 = 0$

Соберем подобные члены:

$(25 + 60a + 45a^2 + 66a + 121) + (50y - 80y + 60ay - 96ay) + (25y^2 - 80y^2 + 64y^2) = 0$

Это уравнение имеет вид:

$(25 + 60a + 45a^2 + 66a + 121) + (50y - 80y + (60a - 96a)y) + (25y^2 - 80y^2 + 64y^2) = 0$

Упростим каждую часть:

1. Константы: $25 + 60a + 45a^2 + 66a + 121$
2. Коэффициент при $y$: $50 - 80 + (60a - 96a) = -30 - 36a$
3. Коэффициент при $y^2$: $25 - 80 + 64 = 9$

Теперь получаем систему уравнений для констант, $y$, и $y^2$:

1. $45a^2 + 126a + 146 = 0$ — уравнение для констант
2. $-36a - 30 = 0$ — уравнение для коэффициента при $y$
3. $9y^2 = 0$ — уравнение для коэффициента при $y^2$

Шаг 3: Решим систему

1. Из уравнения для $y^2$: $9y^2 = 0$, что дает $y = 0$.
2. Из уравнения для коэффициента при $y$: $-36a - 30 = 0$, решим относительно $a$:

$a = -\frac{30}{36} = -\frac{5}{6}$

3. Подставим найденное значение $a = -\frac{5}{6}$ в уравнение для констант:

$45\left(-\frac{5}{6}\right)^2 + 126\left(-\frac{5}{6}\right) + 146 = 0$

Посчитаем:

$45 \times \frac{25}{36} - 126 \times \frac{5}{6} + 146 = 0$

$\frac{45 \times 25}{36} - \frac{126 \times 5}{6} + 146 = 0$

$\frac{1125}{36} - 105 + 146 = 0$

$31.25 - 105 + 146 = 0$

$72.25 \neq 0$

Значит, ошибка в вычислениях.