Math Problem Statement
Найдите все целочисленные значения параметра a , при каждом из которых система
{(x−1)2+(y−a)2−−−−−−−−−−−−−−−√+(x−5)2+(y−a)2−−−−−−−−−−−−−−−√=4,x2−|a+1|x−2a2=3
имеет единственное решение
Solution
Давайте рассмотрим систему уравнений:
\sqrt{(x - 1)^2 + (y - a)^2} + \sqrt{(x - 5)^2 + (y - a)^2} = 4 \\ x^2 - |a + 1|x - 2a^2 = 3 \end{cases}$$ ### 1. Распишем первое уравнение Это уравнение описывает геометрическую задачу, связанную с расстояниями. Первое уравнение можно интерпретировать как задачу на нахождение точки, для которой сумма расстояний от неё до двух фиксированных точек (с координатами $$(1, a)$$ и $$(5, a)$$) равна 4. Это уравнение имеет решение, если и только если сумма этих расстояний больше или равна расстоянию между точками $$(1, a)$$ и $$(5, a)$$, что в свою очередь зависит от значения $$a$$. **Расстояние между точками $$(1, a)$$ и $$(5, a)$$:** $$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (a - a)^2} = 4$$ Таким образом, сумма расстояний должна быть равна 4. Если эта сумма расстояний равна 4, то точка будет находиться на эллипсе с фокусами в точках $$(1, a)$$ и $$(5, a)$$, а если меньше 4 — решений не будет. Для того чтобы система имела единственное решение, сумма расстояний должна быть именно 4, что означает, что точка будет лежать на гиперболе, а не внутри неё. ### 2. Разбираемся со вторым уравнением Второе уравнение: $$x^2 - |a + 1|x - 2a^2 = 3$$ Преобразуем его: $$x^2 - |a + 1|x - 2a^2 - 3 = 0$$ Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для того чтобы система имела **единственное решение**, необходимо, чтобы это квадратное уравнение имело только один корень. Для этого дискриминант должен быть равен нулю. **Дискриминант** квадратного уравнения: $$\Delta = (-|a + 1|)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2 - 3) = (a + 1)^2 + 8a^2 + 12$$ Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю: $$(a + 1)^2 + 8a^2 + 12 = 0$$ Решим это уравнение: $$a^2 + 2a + 1 + 8a^2 + 12 = 0$$ $$9a^2 + 2a + 13 = 0$$ Теперь найдем дискриминант этого уравнения: $$\Delta' = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot 13 = 4 - 468 = -464$$ Так как дискриминант отрицателен, у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, **нет таких значений $$a$$, при которых система имеет единственное решение**. Ответ: **Нет целочисленных значений параметра $$a$$, при которых система имеет единственное решение.** --- Если нужно больше объяснений или есть вопросы, не стесняйтесь! Вот 5 дополнительных вопросов по теме: 1. Как изменяется решение системы, если изменить параметр $$a$$? 2. Как можно интерпретировать второе уравнение как задачу на нахождение параболы? 3. Что происходит, если дискриминант второго уравнения больше нуля? 4. Как можно изменить первое уравнение, чтобы система имела два решения? 5. Что означает геометрически условие, что сумма расстояний от точки до двух других точек равна фиксированному числу? **Совет:** Помните, что для решения задач с геометрическими объектами, такими как гиперболы и эллипсы, важно сначала понять их свойства и как они взаимодействуют с параметрами.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Geometry
Algebra
Quadratic Equations
Distance Formula
Discriminant
Formulas
Distance formula: √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Quadratic equation: ax² + bx + c = 0
Discriminant of a quadratic equation: Δ = b² - 4ac
Theorems
Sum of distances from a point to two fixed points forms an ellipse or hyperbola
A quadratic equation has a unique solution when the discriminant is zero
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Find the Values of Parameter a for Unique Solutions of the System of Equations
Solving Quadratic Equations with Parameters and Finding Distinct Roots
Solve for parameter a in equation a2 - ax - 2x2 - 6a + 3x + 9|x| = 0 with four distinct solutions
Conditions for Infinite, No, and Unique Solutions in a Linear System of Equations
Solving a System of Linear Equations with Parameter a Using Row Operations