найти поверхностный интеграл 1 рода int int 1/(1+x+y)^2 ds    F - граница тетраэдара, ограниченного x+y+z<=1, x>=0, y>=0, z>=0     

Чтобы найти поверхностный интеграл первого рода

\[
\iint\limits_{F} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS,
\]

где \( F \) — поверхность, являющаяся границей тетраэдра, ограниченного неравенствами \( x + y + z \leq 1 \), \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \), \( z \geq 0 \), нужно следовать таким шагам:

### Шаг 1: Определение поверхности \( F \)

Поверхность \( F \) состоит из четырех граней:
1. \( x = 0, \; y \geq 0, \; z \geq 0, \; x + y + z \leq 1 \) (грань в плоскости \( x = 0 \))
2. \( y = 0, \; x \geq 0, \; z \geq 0, \; x + y + z \leq 1 \) (грань в плоскости \( y = 0 \))
3. \( z = 0, \; x \geq 0, \; y \geq 0, \; x + y + z \leq 1 \) (грань в плоскости \( z = 0 \))
4. \( x + y + z = 1, \; x \geq 0, \; y \geq 0, \; z \geq 0 \) (грань на наклонной плоскости)

### Шаг 2: Вычисление поверхностного интеграла

Так как \( F \) состоит из четырех граней, поверхностный интеграл можно представить как сумму интегралов по каждой из этих граней:

\[
\iint\limits_{F} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS = \iint\limits_{F_1} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS + \iint\limits_{F_2} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS + \iint\limits_{F_3} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS + \iint\limits_{F_4} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS.
\]

Параметризуем каждую грань и вычислим соответствующий поверхностный элемент \( dS \) для каждой грани:

1. **Грань \( F_1 \): \( x = 0 \)**
   \[
   z = 1 - y, \; 0 \leq y \leq 1.
   \]
   Вектор нормали \( \mathbf{n} = (1, 0, 0) \). Площадь элемента поверхности: \( dS = dz \, dy = 1 \, dy \).

2. **Грань \( F_2 \): \( y = 0 \)**
   \[
   z = 1 - x, \; 0 \leq x \leq 1.
   \]
   Вектор нормали \( \mathbf{n} = (0, 1, 0) \). Площадь элемента поверхности: \( dS = dx \, dz = 1 \, dz \).

4. **Грань \( F_3 \): \( z = 0 \)**
   \[
   y = 1 - x, \; 0 \leq x \leq 1.
   \]
   Вектор нормали \( \mathbf{n} = (0, 0, 1) \). Площадь элемента поверхности: \( dS = dz \, dy = 1 \, dy \).

5. Грань 4: \(  z =1- x-y, z=+ dz=y+y .

###  =ищ.



найти поверхностный интеграл 1 рода int int 1/(1+x+y)^2 ds    F - граница тетраэдара, ограниченного x+y+z<=1, x>=0, y>=0, z>=0

Learn how to compute a surface integral of the first kind for the function 1/(1+x+y)^2 over the surface of a tetrahedron bounded by x + y + z <= 1, x >= 0, y >= 0, and z >= 0. This detailed step-by-step solution covers parametrization, surface element calculation, and integration techniques. Suitable for students in advanced calculus courses.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation