Чтобы найти поверхностный интеграл первого рода

$\iint\limits_{F} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS,$

где $F$ — поверхность, являющаяся границей тетраэдра, ограниченного неравенствами $x + y + z \leq 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$, нужно следовать таким шагам:

Шаг 1: Определение поверхности $F$

Поверхность $F$ состоит из четырех граней:

1. $x = 0, \; y \geq 0, \; z \geq 0, \; x + y + z \leq 1$ (грань в плоскости $x = 0$)
2. $y = 0, \; x \geq 0, \; z \geq 0, \; x + y + z \leq 1$ (грань в плоскости $y = 0$)
3. $z = 0, \; x \geq 0, \; y \geq 0, \; x + y + z \leq 1$ (грань в плоскости $z = 0$)
4. $x + y + z = 1, \; x \geq 0, \; y \geq 0, \; z \geq 0$ (грань на наклонной плоскости)

Шаг 2: Вычисление поверхностного интеграла

Так как $F$ состоит из четырех граней, поверхностный интеграл можно представить как сумму интегралов по каждой из этих граней:

$\iint\limits_{F} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS = \iint\limits_{F_1} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS + \iint\limits_{F_2} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS + \iint\limits_{F_3} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS + \iint\limits_{F_4} \frac{1}{(1 + x + y)^2} \, dS.$

Параметризуем каждую грань и вычислим соответствующий поверхностный элемент $dS$ для каждой грани:

1. Грань $F_1$: $x = 0$ $z = 1 - y, \; 0 \leq y \leq 1.$ Вектор нормали $\mathbf{n} = (1, 0, 0)$. Площадь элемента поверхности: $dS = dz \, dy = 1 \, dy$.

2. Грань $F_2$: $y = 0$ $z = 1 - x, \; 0 \leq x \leq 1.$ Вектор нормали $\mathbf{n} = (0, 1, 0)$. Площадь элемента поверхности: $dS = dx \, dz = 1 \, dz$.

3. Грань $F_3$: $z = 0$ $y = 1 - x, \; 0 \leq x \leq 1.$ Вектор нормали $\mathbf{n} = (0, 0, 1)$. Площадь элемента поверхности: $dS = dz \, dy = 1 \, dy$.

4. Грань 4: ( z =1- x-y, z=+ dz=y+y .

=ищ.