301 और 501 के बीच 7 से विभाजित होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का योग निकालने के लिए हम इन चरणों का अनुसरण करेंगे:

1. 301 और 501 के बीच 7 से विभाज्य पहली और आखिरी संख्या का निर्धारण करें:

   • 301 से सबसे करीबी 7 का गुणज: $301 + (7 - (301 \mod 7)) = 301 + 6 = 308$
   • 501 से सबसे करीबी 7 का गुणज: $501 - (501 \mod 7) = 501 - 4 = 497$

   तो, 301 और 501 के बीच 7 से विभाजित होने वाली संख्याओं की श्रृंखला 308, 315, 322, ..., 497 होगी।

2. इस श्रृंखला को एक समान्तर श्रेणी (A.P.) के रूप में पहचानें:

   • प्रथम पद $a = 308$
   • अंतर $d = 7$
   • अंतिम पद $l = 497$

3. श्रृंखला में पदों की संख्या (n) का निर्धारण: $l = a + (n - 1) \cdot d$ $497 = 308 + (n - 1) \cdot 7$ $497 - 308 = (n - 1) \cdot 7$ $189 = (n - 1) \cdot 7$ $n - 1 = \frac{189}{7} = 27$ $n = 28$

   तो इस श्रेणी में 28 पद हैं।

4. श्रेणी का योग (S) निकालें: एक समान्तर श्रेणी के योग का सूत्र है: $S = \frac{n}{2} \cdot (a + l)$ जहाँ $n = 28$, $a = 308$, और $l = 497$ है। $S = \frac{28}{2} \cdot (308 + 497)$ $S = 14 \cdot 805$ $S = 11270$

अतः, 301 और 501 के बीच 7 से विभाजित होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का कुल योग $11270$ है।

क्या आपको किसी स्टेप में और विस्तार चाहिए या अन्य प्रश्न हैं?

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विस्तार के लिए कुछ संबंधित प्रश्न:

1. समान्तर श्रेणी के योग का सामान्य सूत्र क्या है और इसे कैसे सिद्ध किया जाता है?
2. क्या 7 से विभाजित अन्य किसी संख्या के साथ भी यही प्रक्रिया अपनाई जा सकती है?
3. यदि हमें 7 के बजाय 5 से विभाजित संख्याओं का योग निकालना हो, तो प्रक्रिया में क्या परिवर्तन होगा?
4. 301 और 501 के बीच सभी संख्याओं का योग कैसे निकाला जा सकता है?
5. क्या इस प्रकार की गणना में गणितीय नियमों का पालन करना आवश्यक है?

एक सुझाव:

समान्तर श्रेणी (A.P.) में अंतिम पद को खोजने का तरीका याद रखें – यह श्रेणी में पदों की संख्या सही ढंग से निकालने में सहायक होता है।