Нам нужно найти количество подмножеств множества $A = \{ 1, 2, 3, \dots, 12 \}$, содержащих ровно одну пару последовательных чисел. Рассмотрим следующий пошаговый процесс.

Шаг 1: Разбиение на две категории

Чтобы подмножество содержало ровно одну пару последовательных чисел, это означает, что в нем будет два элемента, которые идут подряд, и никакие другие элементы не могут быть частью других таких пар.

Шаг 2: Выбор пары последовательных чисел

Множество $A$ содержит 12 элементов, и из них можно выбрать одну пару последовательных чисел. Возможные такие пары — это: $(1, 2), (2, 3), (3, 4), \dots, (11, 12)$ Всего таких пар — 11.

Шаг 3: Выбор остальных элементов

После того как мы выбрали одну пару последовательных чисел, необходимо выбрать все остальные элементы, которые не образуют другие пары последовательных чисел. То есть, мы можем добавить в подмножество элементы, которые не соседничают с выбранной парой.

• Если мы выбрали пару $(i, i+1)$, то из множества оставшихся чисел $\{ 1, 2, 3, \dots, 12 \} \setminus \{ i, i+1 \}$ мы можем добавить любые элементы, кроме чисел $i-1$ и $i+2$, чтобы не образовывались новые пары последовательных чисел.

Шаг 4: Подсчет количества способов

Каждое подмножество должно включать одну пару $(i, i+1)$, и затем любые элементы из оставшихся $12 - 4$ чисел (за исключением тех, что могут образовать новые пары). Следовательно, для каждого выбора пары последовательных чисел существует $2^8$ способов выбрать оставшиеся элементы.

Шаг 5: Итоговый подсчет

Поскольку существует 11 возможных пар последовательных чисел и для каждой из них можно выбрать $2^8$ подмножеств, общее количество таких подмножеств будет равно: $11 \times 2^8 = 11 \times 256 = 2816$

Таким образом, существует 2816 подмножеств множества $\{ 1, 2, 3, \dots, 12 \}$, содержащих ровно одну пару последовательных чисел.

Хотите, чтобы я пояснил более подробно какой-то из этапов или рассмотрел другие вопросы?

Вот пять вопросов, которые могут расширить понимание:

1. Как бы изменился ответ, если бы нам нужно было выбрать подмножества с двумя парами последовательных чисел?
2. Что будет, если ограничиться подмножествами, содержащими хотя бы одну пару последовательных чисел?
3. Какие еще методы можно использовать для подсчета количества подмножеств с ограничениями?
4. Как бы изменился результат, если бы множества было не из 12 элементов, а из большего числа?
5. Как бы выглядел алгоритм, который бы перечислял все такие подмножества?

Совет: при решении задач на подсчет всегда полезно разбивать проблему на более мелкие части, чтобы избежать перегрузки информации.