Сколько существует подмножеств множества {1,...,12}, содержащих ровно одну пару последовательных чисел?

Задача состоит в нахождении числа подмножеств множества \( S = \{1, 2, 3, \dots, 12\} \), которые содержат ровно одну пару последовательных чисел.

### Шаги решения:

1. **Определение, что такое пара последовательных чисел**:
    Пара последовательных чисел — это два числа, например, \( (k, k+1) \), где \( k \) — это число из множества \( S \), а \( k+1 \) — следующее за ним число.

2. **Выбор пары последовательных чисел**:
    В множестве \( S \) есть 11 пар последовательных чисел: \( (1,2), (2,3), \dots, (11,12) \).

3. **Рассмотрение подмножества**:
    Подмножество должно содержать одну пару последовательных чисел. После того как мы выбрали одну пару, нам нужно добавить в подмножество любые остальные числа из \( S \), но так, чтобы в подмножестве не оказалось других пар последовательных чисел.

    Например, если выбранная пара — \( (k, k+1) \), то ни одно из чисел \( k-1 \) или \( k+2 \) не может быть в подмножестве, чтобы не образовывалась новая пара последовательных чисел.

4. **Количество вариантов для каждой пары**:
    После того как выбрана пара \( (k, k+1) \), оставшиеся числа, которые можно добавить в подмножество, — это все числа, которые не соседствуют с \( k \) и \( k+1 \). То есть, из множества \( S \) нужно исключить \( k-1 \), \( k+2 \), если они существуют.

    Количество оставшихся чисел в подмножестве для каждой пары:

    - Если \( k = 1 \), то нельзя выбрать \( 2 \) и \( 3 \), остаются числа \( 4, 5, \dots, 12 \), всего 9 чисел.
    - Если \( k = 12 \), то нельзя выбрать \( 11 \) и \( 10 \), остаются числа \( 1, 2, \dots, 9 \), всего 9 чисел.
    - Для любых других \( k \) (от 2 до 11), нельзя выбрать \( k-1 \), \( k+2 \), и остаются числа из множества \( S \), за исключением \( k-1 \), \( k \), \( k+1 \), \( k+2 \). Это дает 8 чисел.

    Таким образом, для \( k = 1 \) или \( k = 12 \) можно выбрать 9 чисел, а для других \( k \) — 8 чисел.

5. **Общее количество подмножеств**:
    Для каждой из 11 пар последовательных чисел количество подмножеств будет:

    - Для \( k = 1 \) и \( k = 12 \) — \( 2^9 \) вариантов.
    - Для каждого \( k \) от 2 до 11 — \( 2^8 \) вариантов.

    Общее количество подмножеств равно:

    \[
    2^9 + 2^9 + 9 \cdot 2^8 = 2 \cdot 2^9 + 9 \cdot 2^8 = 2^{10} + 9 \cdot 2^8 = 1024 + 2304 = 3328
    \]

### Ответ:
Число подмножеств множества \( \{1, 2, \dots, 12\} \), содержащих ровно одну пару последовательных чисел, равно 3328.

---

Хотите ли вы подробности по какому-либо шагу или есть вопросы? 

### Дополнительные вопросы:
1. Почему важно, чтобы в подмножестве не было других пар последовательных чисел?
2. Как изменится решение, если в подмножестве разрешено содержать несколько пар последовательных чисел?
3. Как бы изменился ответ, если множество состояло бы не из 12, а из 10 элементов?
4. Можете ли вы привести пример подмножества, которое удовлетворяет условиям задачи?
5. Что будет, если не ограничивать подмножества только одной парой последовательных чисел?

**Совет:** При решении задач на количество подмножеств всегда внимательно проверяйте, какие элементы можно или нельзя включать в подмножества для выполнения заданных условий.

Узнайте, как вычислить количество подмножеств множества {1,...,12}, содержащих ровно одну пару последовательных чисел. Подробное пошаговое решение задачи с использованием теоремы о подсчете подмножеств. Подходит для старших классов.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation