Рассмотрим задачу на пересечения подмножеств.

Нам нужно найти количество подмножеств множества $S = \{0, 1, \dots, 9\}$, которые не пересекаются по крайней мере с одним из множеств:

1. $A = \{1, 2, 3, 4\}$
2. $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$
3. $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$
4. $D = \{6, 7, 8, 9\}$

Шаг 1: Общее количество подмножеств

Всего у множества $S$ из 10 элементов количество подмножеств равно $2^{10} = 1024$.

Шаг 2: Используем принцип включения-исключения

Для того чтобы найти количество подмножеств, которые не пересекаются хотя бы с одним из множеств $A$, $B$, $C$, $D$, будем применять принцип включения-исключения.

Обозначим через $|X|$ количество подмножеств множества $S$, которые не пересекаются с $X$.

1. $|A'| = 2^{10 - 4} = 2^6 = 64$
2. $|B'| = 2^{10 - 5} = 2^5 = 32$
3. $|C'| = 2^{10 - 5} = 2^5 = 32$
4. $|D'| = 2^{10 - 4} = 2^6 = 64$

Теперь найдём количества для парных, тройных и четверных пересечений.

Шаг 3: Парные пересечения

1. $|A' \cap B'| = 2^{10 - 6} = 2^4 = 16$
2. $|A' \cap C'| = 2^{10 - 6} = 2^4 = 16$
3. $|A' \cap D'| = 2^{10 - 5} = 2^5 = 32$
4. $|B' \cap C'| = 2^{10 - 7} = 2^3 = 8$
5. $|B' \cap D'| = 2^{10 - 7} = 2^3 = 8$
6. $|C' \cap D'| = 2^{10 - 6} = 2^4 = 16$

Шаг 4: Тройные пересечения

1. $|A' \cap B' \cap C'| = 2^{10 - 8} = 2^2 = 4$
2. $|A' \cap B' \cap D'| = 2^{10 - 7} = 2^3 = 8$
3. $|A' \cap C' \cap D'| = 2^{10 - 7} = 2^3 = 8$
4. $|B' \cap C' \cap D'| = 2^{10 - 8} = 2^2 = 4$

Шаг 5: Четверное пересечение

1. $|A' \cap B' \cap C' \cap D'| = 2^{10 - 9} = 2^1 = 2$

Шаг 6: Применение принципа включения-исключения

Подставим значения в формулу включения-исключения:

$|A' \cup B' \cup C' \cup D'| = |A'| + |B'| + |C'| + |D'| - |A' \cap B'| - |A' \cap C'| - |A' \cap D'| - |B' \cap C'| - |B' \cap D'| - |C' \cap D'| + |A' \cap B' \cap C'| + |A' \cap B' \cap D'| + |A' \cap C' \cap D'| + |B' \cap C' \cap D'| - |A' \cap B' \cap C' \cap D'|$

Подставив все значения, получаем:

$64 + 32 + 32 + 64 - 16 - 16 - 32 - 8 - 8 - 16 + 4 + 8 + 8 + 4 - 2 = 138$

Таким образом, количество подмножеств, которые не пересекаются по крайней мере с одним из заданных множеств, равно $\boxed{138}$.

---

Хотите подробности по каждому шагу или есть вопросы?

1. Какие еще методы можно использовать для решения подобных задач?
2. Как работает принцип включения-исключения?
3. Как можно применить комбинаторный анализ для других подмножеств?
4. Как рассчитать количество пересечений для больших множеств?
5. В чем особенность учета парных и тройных пересечений?

Совет: Принцип включения-исключения полезен в задачах на пересечения и подсчет количества объектов, не включенных в заданные множества.