Studiare le seguenti funzioni rappresentando nel piano cartesiano le

informazioni ricavate dallo studio del dominio, le eventuali simmetrie,

le intersezioni con gli assi coordinati e il segno (studiare equazioni e

disequazioni sia algebricamente che graficamente (qualora sia possibile)

in modo da poter scegliere di volta in volta il metodo che si ritiene più

opportuno).


y = |x − 1|+|x − 2|−3x/x^5−2x^3 −x^2+2

Per studiare la funzione 

\[
y = \frac{|x - 1| + |x - 2| - 3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2},
\]

seguiremo diversi passaggi: il dominio, le simmetrie, le intersezioni con gli assi e lo studio del segno della funzione.

### 1. **Dominio della funzione**
La funzione è una frazione, quindi il dominio è dato dagli \( x \) per cui il denominatore è diverso da zero. Dobbiamo quindi risolvere:

\[
x^5 - 2x^3 - x^2 + 2 \neq 0.
\]

Questo è un polinomio di quinto grado e non ha una soluzione elementare. Possiamo utilizzare il metodo grafico o numerico per trovare gli zeri del denominatore.

### 2. **Simmetrie della funzione**
- **Simmetria rispetto all'asse \(y\):** Per verificare se la funzione è pari (\( f(-x) = f(x) \)), sostituire \( -x \) nella funzione:

\[
y(-x) = \frac{|-x - 1| + |-x - 2| + 3x}{(-x)^5 - 2(-x)^3 - (-x)^2 + 2}.
\]

La funzione non risulta essere pari poiché i moduli e i termini nel numeratore e nel denominatore non mantengono la stessa forma.
  
- **Simmetria rispetto all'origine:** Per verificare se la funzione è dispari (\( f(-x) = -f(x) \)), sostituire \( -x \) e verificare se l'espressione risultante è l'opposto della funzione originale:

\[
y(-x) = \frac{|-x - 1| + |-x - 2| + 3x}{-x^5 + 2x^3 - x^2 + 2}.
\]

Anche in questo caso, la funzione non è dispari.

### 3. **Intersezioni con gli assi**
- **Intersezione con l'asse \(y\):** Avviene quando \( x = 0 \):

\[
y(0) = \frac{|0 - 1| + |0 - 2| - 0}{0^5 - 2 \cdot 0^3 - 0^2 + 2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}.
\]

Quindi, l'intersezione con l'asse \( y \) è \( (0, \frac{3}{2}) \).

- **Intersezione con l'asse \(x\):** Per trovare le intersezioni con l'asse \( x \), risolvere:

\[
|x - 1| + |x - 2| - 3x = 0.
\]

Questo richiede di analizzare i diversi casi dei moduli, cioè quando \( x - 1 \) e \( x - 2 \) sono positivi o negativi. Questo comporta lo studio dei segni nelle regioni \( x < 1 \), \( 1 \leq x < 2 \), e \( x \geq 2 \).

### 4. **Studio del segno**
Dobbiamo studiare il segno della funzione \( y = \frac{|x - 1| + |x - 2| - 3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2} \). Questo si riduce allo studio del segno del numeratore e del denominatore separatamente:
  
- **Numeratore:** Determina quando \( |x - 1| + |x - 2| - 3x \geq 0 \) o \( \leq 0 \).
  
- **Denominatore:** Determina quando \( x^5 - 2x^3 - x^2 + 2 \geq 0 \) o \( \leq 0 \). Questo polinomio, essendo di quinto grado, può avere fino a cinque radici reali, il cui studio richiede il grafico del polinomio o l'utilizzo di metodi numerici.

### 5. **Grafico della funzione**
Dopo aver studiato il dominio, il segno, e le intersezioni, possiamo tracciare il grafico della funzione. Per un'analisi precisa, potrebbe essere utile l'uso di software di grafico come GeoGebra o altri strumenti di calcolo numerico per visualizzare il comportamento della funzione.

### Sintesi dei passi successivi
1. Determina le radici del denominatore per il dominio.
2. Risolvi il numeratore in sezioni per trovare le intersezioni con l'asse \(x\).
3. Analizza il comportamento ai bordi delle sezioni determinate dai punti critici.
4. Traccia il grafico della funzione su base delle informazioni raccolte.
5. Usa strumenti numerici o grafici per completare l'analisi.

Vuoi entrare nei dettagli di uno di questi passaggi? Ecco alcune domande correlate che potrebbero aiutarti ad approfondire:

1. Vuoi studiare nel dettaglio il segno del numeratore?
2. Hai bisogno di trovare i punti di discontinuità della funzione?
3. Vuoi vedere un esempio di come risolvere un modulo specifico?
4. Preferiresti una rappresentazione grafica approssimativa della funzione?
5. Desideri analizzare il limite della funzione in specifici punti?

**Tip:** Quando studi una funzione con moduli, suddividi sempre il dominio nei vari casi che il modulo può assumere e analizza ciascuno separatamente.

Studiare le seguenti funzioni rappresentando nel piano cartesiano le informazioni ricavate dallo studio del dominio, le eventuali simmetrie, le intersezioni con gli assi coordinati e il segno (studiare equazioni e disequazioni sia algebricamente che graficamente in modo da poter scegliere di volta in volta il metodo che si ritiene più opportuno). y = |x − 1| + |x − 2| − 3x / (x^5 − 2x^3 − x^2 + 2)

In this study, we analyze the function y = |x − 1| + |x − 2| − 3x / (x^5 − 2x^3 − x^2 + 2), including its domain, symmetry, intersections with the axes, and sign. The solution covers key algebraic concepts such as rational functions, absolute value equations, and polynomial roots. Suitable for undergraduate-level students.

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