Studiare le seguenti funzioni rappresentando nel piano cartesiano le

informazioni ricavate dallo studio del dominio, le eventuali simmetrie,

le intersezioni con gli assi coordinati e il segno (studiare equazioni e

disequazioni sia algebricamente che graficamente (qualora sia possibile)

in modo da poter scegliere di volta in volta il metodo che si ritiene più

opportuno).


y = |x − 1| + |x − 2| − 3x/x^5 − 2x^3 − x^2 + 2

Per studiare la funzione

\[
y = |x - 1| + |x - 2| - \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2},
\]

procediamo analizzando i seguenti aspetti uno alla volta: **dominio**, **simmetrie**, **intersezioni con gli assi**, e **segno**. Infine faremo una rappresentazione grafica qualitativa.

### 1. **Dominio della funzione**
La funzione può essere suddivisa in due parti:
- \( f(x) = |x - 1| + |x - 2| \), che è definita per ogni \( x \in \mathbb{R} \).
- \( g(x) = \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2} \), che è definita tranne dove il denominatore è uguale a zero.

Il dominio della funzione sarà dato da tutti i valori di \( x \) per cui il denominatore di \( g(x) \) non si annulla, quindi dobbiamo risolvere l'equazione

\[
x^5 - 2x^3 - x^2 + 2 = 0.
\]

Poiché questa è un'equazione polinomiale di quinto grado, può essere difficile risolverla esattamente senza strumenti avanzati. Tuttavia, possiamo osservare che l'equazione potrebbe avere radici reali (valori di \( x \) per cui si annulla) che devono essere escluse dal dominio. Possiamo approssimare numericamente queste radici o tentare fattorizzazioni se possibile, ma per ora consideriamo che il dominio sarà tutto \( \mathbb{R} \) esclusi i valori per cui il denominatore si annulla.

### 2. **Simmetrie**
Per verificare la simmetria, controlliamo se la funzione è pari, dispari, o nessuna delle due.

- Una funzione è **pari** se \( f(-x) = f(x) \).
- Una funzione è **dispari** se \( f(-x) = -f(x) \).

Per controllare la simmetria, esaminiamo cosa accade a \( f(-x) \). L'uso dei valori assoluti nella prima parte della funzione implica che la simmetria non sarà semplice da valutare, quindi è probabile che la funzione non sia né pari né dispari.

### 3. **Intersezioni con gli assi**
- **Intersezione con l'asse y**: si ottiene valutando la funzione per \( x = 0 \).
  
  \[
  y(0) = |0 - 1| + |0 - 2| - \frac{3(0)}{0^5 - 2(0)^3 - 0^2 + 2} = 1 + 2 - 0 = 3.
  \]
  Quindi, la funzione interseca l'asse y nel punto \( (0, 3) \).

- **Intersezioni con l'asse x**: si ottengono risolvendo \( y = 0 \). Questo richiede risolvere l'equazione

  \[
  |x - 1| + |x - 2| - \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2} = 0,
  \]

  che è complessa e potrebbe necessitare di approssimazioni numeriche per trovare eventuali soluzioni.

### 4. **Segno della funzione**
Il segno della funzione può essere studiato valutando dove la funzione è positiva o negativa, risolvendo la disequazione:

\[
|x - 1| + |x - 2| - \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2} > 0.
\]

Dato che questa espressione è piuttosto complessa, possiamo fare un'analisi numerica o grafica per vedere in quali intervalli la funzione è positiva o negativa. Una prima esplorazione qualitativa suggerisce che, per valori di \( x \) molto grandi o molto piccoli, il termine \( \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2} \) tende a zero, quindi la funzione potrebbe avvicinarsi a \( |x - 1| + |x - 2| \), che è sempre positiva.

### 5. **Grafico qualitativo**
Il grafico della funzione sarà influenzato dalle caratteristiche dei valori assoluti e dalla presenza del termine razionale. Vicino a \( x = 1 \) e \( x = 2 \), i moduli cambiano segno, e questo crea pieghe nel grafico. Il termine razionale può introdurre

Studiare le seguenti funzioni rappresentando nel piano cartesiano le informazioni ricavate dallo studio del dominio, le eventuali simmetrie, le intersezioni con gli assi coordinati e il segno (studiare equazioni e disequazioni sia algebricamente che graficamente in modo da poter scegliere di volta in volta il metodo che si ritiene più opportuno).
y = |x − 1| + |x − 2| − 3x/(x^5 − 2x^3 − x^2 + 2)

Explore the detailed study of the function y = |x − 1| + |x − 2| − 3x/(x^5 − 2x^3 − x^2 + 2). This solution covers domain analysis, symmetry, intercepts with axes, and sign evaluation, combining algebraic and graphical methods. Ideal for university-level students.

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