Per studiare la funzione

$y = |x - 1| + |x - 2| - \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2},$

procediamo analizzando i seguenti aspetti uno alla volta: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, e segno. Infine faremo una rappresentazione grafica qualitativa.

1. Dominio della funzione

La funzione può essere suddivisa in due parti:

• $f(x) = |x - 1| + |x - 2|$, che è definita per ogni $x \in \mathbb{R}$.
• $g(x) = \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2}$, che è definita tranne dove il denominatore è uguale a zero.

Il dominio della funzione sarà dato da tutti i valori di $x$ per cui il denominatore di $g(x)$ non si annulla, quindi dobbiamo risolvere l'equazione

$x^5 - 2x^3 - x^2 + 2 = 0.$

Poiché questa è un'equazione polinomiale di quinto grado, può essere difficile risolverla esattamente senza strumenti avanzati. Tuttavia, possiamo osservare che l'equazione potrebbe avere radici reali (valori di $x$ per cui si annulla) che devono essere escluse dal dominio. Possiamo approssimare numericamente queste radici o tentare fattorizzazioni se possibile, ma per ora consideriamo che il dominio sarà tutto $\mathbb{R}$ esclusi i valori per cui il denominatore si annulla.

2. Simmetrie

Per verificare la simmetria, controlliamo se la funzione è pari, dispari, o nessuna delle due.

• Una funzione è pari se $f(-x) = f(x)$.
• Una funzione è dispari se $f(-x) = -f(x)$.

Per controllare la simmetria, esaminiamo cosa accade a $f(-x)$. L'uso dei valori assoluti nella prima parte della funzione implica che la simmetria non sarà semplice da valutare, quindi è probabile che la funzione non sia né pari né dispari.

3. Intersezioni con gli assi

• Intersezione con l'asse y: si ottiene valutando la funzione per $x = 0$.

  $y(0) = |0 - 1| + |0 - 2| - \frac{3(0)}{0^5 - 2(0)^3 - 0^2 + 2} = 1 + 2 - 0 = 3.$ Quindi, la funzione interseca l'asse y nel punto $(0, 3)$.

• Intersezioni con l'asse x: si ottengono risolvendo $y = 0$. Questo richiede risolvere l'equazione

  $|x - 1| + |x - 2| - \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2} = 0,$

  che è complessa e potrebbe necessitare di approssimazioni numeriche per trovare eventuali soluzioni.

4. Segno della funzione

Il segno della funzione può essere studiato valutando dove la funzione è positiva o negativa, risolvendo la disequazione:

$|x - 1| + |x - 2| - \frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2} > 0.$

Dato che questa espressione è piuttosto complessa, possiamo fare un'analisi numerica o grafica per vedere in quali intervalli la funzione è positiva o negativa. Una prima esplorazione qualitativa suggerisce che, per valori di $x$ molto grandi o molto piccoli, il termine $\frac{3x}{x^5 - 2x^3 - x^2 + 2}$ tende a zero, quindi la funzione potrebbe avvicinarsi a $|x - 1| + |x - 2|$, che è sempre positiva.

5. Grafico qualitativo

Il grafico della funzione sarà influenzato dalle caratteristiche dei valori assoluti e dalla presenza del termine razionale. Vicino a $x = 1$ e $x = 2$, i moduli cambiano segno, e questo crea pieghe nel grafico. Il termine razionale può introdurre