Lássuk lépésről lépésre a feladatot:

A táblázat alapján adottak a függvény első- és másodrendű deriváltjai ($f'(x)$ és $f''(x)$), valamint a függvény $f(x)$ értékei a különböző intervallumokon.

a) Hol csökken a függvény?

• A függvény csökken, ha az első derivált ($f'(x)$) negatív.
• A táblázatban látjuk, hogy $f'(x) = -$ a $0 < x < 1$ és $1 < x < 2$ intervallumokban.
• Tehát a függvény csökkenési tartománya: $0 < x < 2$.

Válasz: $0 < x < 2$.

b) Helyi szélsőértékek (maximum és minimum)

• Helyi maximum akkor van, amikor az első derivált $f'(x) = 0$ és a másodrendű derivált $f''(x)$ negatív.
• A táblázatban $f'(x) = 0$ értéket kapunk $x = 0$-nál, és $f(x) = 2$ ott, tehát ez egy maximum.
• Helyi minimum akkor van, amikor $f'(x) = 0$ és $f''(x)$ pozitív.
• $x = 2$-nél $f'(x) = 0$ és $f(x) = 0$, így ez egy minimum.

Válasz: Helyi maximum: $x = 0$, $y = 2$. Helyi minimum: $x = 2$, $y = 0$.

c) Hol konvex a függvény?

• A függvény konvex, ha a másodrendű derivált ($f''(x)$) pozitív.
• A táblázatban $f''(x) = +$ a $x > 1$ tartományban.

Válasz: A függvény konvex, ha $x > 1$.

d) Van-e inflexiós pontja a függvénynek?

• Inflexiós pont akkor van, amikor $f''(x)$ előjelet vált.
• A táblázat szerint az előjelváltás $x = 1$-nél történik, így itt van az inflexiós pont.

Válasz: Inflexiós pont: $x = 1$-ben.

f) Van(nak)-e a függvénynek abszolút szélsőértékei?

• Abszolút szélsőértékek akkor lennének, ha a függvény elérne valamilyen legkisebb vagy legnagyobb értéket minden $x$-re.
• Itt $f(x)$ értékei $x \to \pm \infty$ esetén $+\infty$ és $-\infty$-be tartanak, tehát nincs abszolút szélsőérték.

Válasz: Nincsenek abszolút szélsőértékek.

g) Adja meg a függvény értékkészletét!

• A függvény tartománya szerint $f(x)$ értékei bármely valódi számok lehetnek ($f(x) \to +\infty$ és $f(x) \to -\infty$).
• Ezért az értékkészlet: $\mathbb{R}$.

Válasz: $R_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.

Kérdésed van, vagy szeretnéd valamelyik lépést részletesebben?

További kérdések a megértéshez:

1. Miért csökken a függvény pontosan azokon az intervallumokon, ahol $f'(x)$ negatív?
2. Hogyan befolyásolja a másodrendű derivált $f(x)$ görbületét?
3. Miért van maximum az $x = 0$-nál és minimum az $x = 2$-nél?
4. Miért éppen az inflexiós pontnál vált előjelet a $f''(x)$?
5. Hogyan határozzuk meg, hogy van-e abszolút maximuma vagy minimuma a függvénynek?

Tipp: Egy függvény konvexitása és inflexiós pontja a másodrendű derivált segítségével határozható meg; a konvexitás pozitív, a konkávitás negatív deriválttal függ össze.