Diberikan $\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mid x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R}\}$, ruang vektor di atas lapangan $\mathbb{R}$. Kita akan membuktikan dua hal:

1. Jika $u, v, w \in \mathbb{R}^n$, maka $u, v, w \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$.
2. $\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$.

1. Membuktikan bahwa $u, v, w \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$

Langkah 1: Menuliskan vektor $u, v, w$ dalam kombinasi linear dari $u, u + v, u + v + w$.

• Vektor $u$ jelas merupakan elemen dari $\text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$, karena $u$ langsung merupakan salah satu vektor dalam himpunan ini.

• Sekarang, mari kita coba mencari $v$. Kita tahu bahwa $u + v \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$. Karena $u + v$ dapat ditulis sebagai: $u + v = u + (v)$ Maka kita dapat menyatakan $v$ sebagai: $v = (u + v) - u$ Sehingga $v \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$.

• Sekarang, untuk $w$, kita tahu bahwa $u + v + w \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$. Karena: $u + v + w = u + v + w$ Maka $w$ dapat dinyatakan sebagai: $w = (u + v + w) - (u + v)$ Jadi, $w \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$.

Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa $u, v, w \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$.

2. Membuktikan bahwa $\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$

Untuk membuktikan kesamaan dari kedua span, kita perlu menunjukkan bahwa setiap vektor dari satu himpunan dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di himpunan yang lain, dan sebaliknya.

Langkah 1: Menunjukkan bahwa setiap elemen di $\text{span} \{ u, v, w \}$ ada di $\text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$.

Dari hasil pembuktian pertama, kita sudah melihat bahwa $u, v, w \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$. Karena $\text{span} \{ u, v, w \}$ terdiri dari semua kombinasi linear $u, v, w$, dan kita telah menunjukkan bahwa $u, v, w \in \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$, maka $\text{span} \{ u, v, w \} \subseteq \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$.

Langkah 2: Menunjukkan bahwa setiap elemen di $\text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$ ada di $\text{span} \{ u, v, w \}$.

Vektor-vektor $u$, $u + v$, dan $u + v + w$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $u, v, w$:

• $u = u$
• $u + v = u + v$
• $u + v + w = u + v + w$

Karena $u, u + v, u + v + w$ semuanya adalah kombinasi linear dari $u, v, w$, maka $\text{span} \{ u, u + v, u + v + w \} \subseteq \text{span} \{ u, v, w \}$.

Kesimpulan

Karena kita telah menunjukkan bahwa $\text{span} \{ u, v, w \} \subseteq \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}$ dan $\text{span} \{ u, u + v, u + v + w \} \subseteq \text{span} \{ u, v, w \}$, maka kedua himpunan tersebut sama: $\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u + v, u + v + w \}.$

Pertanyaan Terkait

1. Apa definisi formal dari ruang vektor dan basis dalam aljabar linear?
2. Bagaimana menentukan apakah suatu himpunan vektor adalah basis dari ruang vektor tertentu?
3. Apa hubungan antara basis dan dimensi dari suatu ruang vektor?
4. Bagaimana cara menentukan dimensi dari suatu ruang vektor?
5. Apa itu independensi linear, dan bagaimana cara menguji apakah vektor-vektor dalam suatu himpunan adalah linier independen?

Tip: Saat bekerja dengan ruang vektor, selalu periksa apakah himpunan vektor bebas linear dan mencakup seluruh ruang vektor, untuk memastikan bahwa himpunan tersebut merupakan basis.