diketahui R^n = {(x1,x2,....,xn)|x1,x2,...,xn elemen R} ruang vektor atas lapangan R. tunjukan jika u,v,w elemen R^n. maka u,v,w elemen span {u,u + v,u + v +w} dan span {u,v,w} = span {u,u + v, u + v + w

Diketahui \( \mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R} \} \) adalah ruang vektor atas lapangan \( \mathbb{R} \), kita akan menunjukkan bahwa jika \( u, v, w \in \mathbb{R}^n \), maka \( u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \) dan juga \( \text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \).

### Bukti:

#### 1. Menunjukkan bahwa \( u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \)

Setelah membentuk vektor-vektor baru:

- Misalkan vektor pertama adalah \( u \),
- Vektor kedua adalah \( u + v \),
- Vektor ketiga adalah \( u + v + w \).

Kita ingin menunjukkan bahwa \( u \), \( v \), dan \( w \) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \( u \), \( u + v \), dan \( u + v + w \).

- \( u \) sudah jelas merupakan elemen dari \( \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \) karena \( u \) adalah salah satu vektor pembangunnya.
- \( v \) dapat diekspresikan sebagai:
  \[
  v = (u+v) - u
  \]
  yang berarti \( v \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \).
- \( w \) dapat diekspresikan sebagai:
  \[
  w = (u+v+w) - (u+v)
  \]
  yang berarti \( w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \).

Jadi, \( u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \).

#### 2. Menunjukkan bahwa \( \text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \)

- Dari langkah sebelumnya, kita sudah menunjukkan bahwa \( u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \), sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa \( \text{span} \{ u, v, w \} \subseteq \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \).

- Sekarang, kita tunjukkan bahwa \( u, u+v, u+v+w \in \text{span} \{ u, v, w \} \). Ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
  - \( u \in \text{span} \{ u, v, w \} \).
  - \( u+v \in \text{span} \{ u, v, w \} \), karena:
    \[
    u + v = u + v
    \]
    yang jelas merupakan kombinasi linear dari \( u \) dan \( v \).
  - \( u+v+w \in \text{span} \{ u, v, w \} \), karena:
    \[
    u + v + w = u + v + w
    \]
    yang jelas merupakan kombinasi linear dari \( u \), \( v \), dan \( w \).

Dengan demikian, \( \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \subseteq \text{span} \{ u, v, w \} \).

Karena kedua inklusi sudah terbukti, maka kita dapat menyimpulkan bahwa:
\[
\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.
\]

### Kesimpulan:
Kita telah menunjukkan bahwa \( u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \) dan bahwa \( \text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \).

Apakah Anda ingin saya menjelaskan detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah 5 pertanyaan yang berhubungan dengan konsep ini:
1. Apa itu ruang vektor dan bagaimana cara menentukan basisnya?
2. Bagaimana cara menghitung dimensi dari ruang vektor \( \mathbb{R}^n \)?
3. Apa yang dimaksud dengan kombinasi linear dan bagaimana perannya dalam vektor?
4. Bagaimana cara membuktikan apakah sekumpulan vektor saling bebas atau tidak?
5. Bagaimana cara menemukan representasi vektor dalam basis yang berbeda?

**Tip**: Untuk menyederhanakan vektor, gunakan konsep kombinasi linear dan eliminasi Gaussian untuk mempermudah perhitungan.

Diketahui R^n = {(x1,x2,....,xn)|x1,x2,...,xn elemen R} ruang vektor atas lapangan R. tunjukan jika u,v,w elemen R^n. maka u,v,w elemen span {u,u + v,u + v +w} dan span {u,v,w} = span {u,u + v, u + v + w}.

Explore a detailed proof showing that vectors u, v, and w in R^n belong to the span of {u, u+v, u+v+w}, and that the span of {u, v, w} is equal to the span of {u, u+v, u+v+w}. This problem involves key concepts from linear algebra, including vector spaces, linear combinations, and spanning sets. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation