Math Problem Statement
diketahui R^n = {(x1,x2,....,xn)|x1,x2,...,xn elemen R} ruang vektor atas lapangan R. tunjukan jika u,v,w elemen R^n. maka u,v,w elemen span {u,u + v,u + v +w} dan span {u,v,w} = span {u,u + v, u + v + w
Solution
Diketahui adalah ruang vektor atas lapangan , kita akan menunjukkan bahwa jika , maka dan juga .
Bukti:
1. Menunjukkan bahwa
Setelah membentuk vektor-vektor baru:
- Misalkan vektor pertama adalah ,
- Vektor kedua adalah ,
- Vektor ketiga adalah .
Kita ingin menunjukkan bahwa , , dan dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari , , dan .
- sudah jelas merupakan elemen dari karena adalah salah satu vektor pembangunnya.
- dapat diekspresikan sebagai: yang berarti .
- dapat diekspresikan sebagai: yang berarti .
Jadi, .
2. Menunjukkan bahwa
-
Dari langkah sebelumnya, kita sudah menunjukkan bahwa , sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa .
-
Sekarang, kita tunjukkan bahwa . Ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
- .
- , karena: yang jelas merupakan kombinasi linear dari dan .
- , karena: yang jelas merupakan kombinasi linear dari , , dan .
Dengan demikian, .
Karena kedua inklusi sudah terbukti, maka kita dapat menyimpulkan bahwa:
Kesimpulan:
Kita telah menunjukkan bahwa dan bahwa .
Apakah Anda ingin saya menjelaskan detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?
Berikut adalah 5 pertanyaan yang berhubungan dengan konsep ini:
- Apa itu ruang vektor dan bagaimana cara menentukan basisnya?
- Bagaimana cara menghitung dimensi dari ruang vektor ?
- Apa yang dimaksud dengan kombinasi linear dan bagaimana perannya dalam vektor?
- Bagaimana cara membuktikan apakah sekumpulan vektor saling bebas atau tidak?
- Bagaimana cara menemukan representasi vektor dalam basis yang berbeda?
Tip: Untuk menyederhanakan vektor, gunakan konsep kombinasi linear dan eliminasi Gaussian untuk mempermudah perhitungan.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Vector Spaces
Linear Combinations
Spanning Sets
Formulas
v = (u+v) - u
w = (u+v+w) - (u+v)
Theorems
Properties of Span
Linear Independence and Spanning Sets
Suitable Grade Level
University Level (Undergraduate)
Related Recommendation
Proof of Span Equality in Vector Spaces: span {u, v, w} = span {u, u + v, u + v + w}
Show Subspace Equality: U = W in R4
Understanding Span Equality in Vector Spaces
Proof via Case Distinction: Dimension of Span of Vectors with Common Component w
Proving span(v1, ..., vm) = span(w1, ..., wm) in Linear Algebra