Math Problem Statement

diketahui R^n = {(x1,x2,....,xn)|x1,x2,...,xn elemen R} ruang vektor atas lapangan R. tunjukan jika u,v,w elemen R^n. maka u,v,w elemen span {u,u + v,u + v +w} dan span {u,v,w} = span {u,u + v, u + v + w

Solution

Diketahui Rn={(x1,x2,,xn)x1,x2,,xnR}\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R} \} adalah ruang vektor atas lapangan R\mathbb{R}, kita akan menunjukkan bahwa jika u,v,wRnu, v, w \in \mathbb{R}^n, maka u,v,wspan{u,u+v,u+v+w}u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} dan juga span{u,v,w}=span{u,u+v,u+v+w}\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.

Bukti:

1. Menunjukkan bahwa u,v,wspan{u,u+v,u+v+w}u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}

Setelah membentuk vektor-vektor baru:

  • Misalkan vektor pertama adalah uu,
  • Vektor kedua adalah u+vu + v,
  • Vektor ketiga adalah u+v+wu + v + w.

Kita ingin menunjukkan bahwa uu, vv, dan ww dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari uu, u+vu + v, dan u+v+wu + v + w.

  • uu sudah jelas merupakan elemen dari span{u,u+v,u+v+w}\text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} karena uu adalah salah satu vektor pembangunnya.
  • vv dapat diekspresikan sebagai: v=(u+v)uv = (u+v) - u yang berarti vspan{u,u+v,u+v+w}v \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.
  • ww dapat diekspresikan sebagai: w=(u+v+w)(u+v)w = (u+v+w) - (u+v) yang berarti wspan{u,u+v,u+v+w}w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.

Jadi, u,v,wspan{u,u+v,u+v+w}u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.

2. Menunjukkan bahwa span{u,v,w}=span{u,u+v,u+v+w}\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}

  • Dari langkah sebelumnya, kita sudah menunjukkan bahwa u,v,wspan{u,u+v,u+v+w}u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa span{u,v,w}span{u,u+v,u+v+w}\text{span} \{ u, v, w \} \subseteq \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.

  • Sekarang, kita tunjukkan bahwa u,u+v,u+v+wspan{u,v,w}u, u+v, u+v+w \in \text{span} \{ u, v, w \}. Ini dapat dibuktikan sebagai berikut:

    • uspan{u,v,w}u \in \text{span} \{ u, v, w \}.
    • u+vspan{u,v,w}u+v \in \text{span} \{ u, v, w \}, karena: u+v=u+vu + v = u + v yang jelas merupakan kombinasi linear dari uu dan vv.
    • u+v+wspan{u,v,w}u+v+w \in \text{span} \{ u, v, w \}, karena: u+v+w=u+v+wu + v + w = u + v + w yang jelas merupakan kombinasi linear dari uu, vv, dan ww.

Dengan demikian, span{u,u+v,u+v+w}span{u,v,w}\text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} \subseteq \text{span} \{ u, v, w \}.

Karena kedua inklusi sudah terbukti, maka kita dapat menyimpulkan bahwa: span{u,v,w}=span{u,u+v,u+v+w}.\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.

Kesimpulan:

Kita telah menunjukkan bahwa u,v,wspan{u,u+v,u+v+w}u, v, w \in \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \} dan bahwa span{u,v,w}=span{u,u+v,u+v+w}\text{span} \{ u, v, w \} = \text{span} \{ u, u+v, u+v+w \}.

Apakah Anda ingin saya menjelaskan detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah 5 pertanyaan yang berhubungan dengan konsep ini:

  1. Apa itu ruang vektor dan bagaimana cara menentukan basisnya?
  2. Bagaimana cara menghitung dimensi dari ruang vektor Rn\mathbb{R}^n?
  3. Apa yang dimaksud dengan kombinasi linear dan bagaimana perannya dalam vektor?
  4. Bagaimana cara membuktikan apakah sekumpulan vektor saling bebas atau tidak?
  5. Bagaimana cara menemukan representasi vektor dalam basis yang berbeda?

Tip: Untuk menyederhanakan vektor, gunakan konsep kombinasi linear dan eliminasi Gaussian untuk mempermudah perhitungan.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Vector Spaces
Linear Combinations
Spanning Sets

Formulas

v = (u+v) - u
w = (u+v+w) - (u+v)

Theorems

Properties of Span
Linear Independence and Spanning Sets

Suitable Grade Level

University Level (Undergraduate)