设甲、乙、丙三人的工作效率分别为 $A$, $B$, $C$，即他们每天分别完成 $A$、$B$、$C$ 份工作。

首先，根据题意，甲、乙、丙三人合作 13 天完成该工程，可以得到： $13(A + B + C) = 1$ 即： $A + B + C = \frac{1}{13}$

假设丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，也即乙要工作 17 天（原本为 13 天）完成该工程。这意味着： $13A + 17B + 11C = 1$ 即： $A + \frac{17}{13}B + \frac{11}{13}C = \frac{1}{13}$

若由甲、乙两人合作多做 1 天，即他们需要 14 天完成该工程。可以得到： $14(A + B) = 1$ 即： $A + B = \frac{1}{14}$

现在我们有以下三条方程：

1. $A + B + C = \frac{1}{13}$
2. $A + \frac{17}{13}B + \frac{11}{13}C = \frac{1}{13}$
3. $A + B = \frac{1}{14}$

从第一条方程式中，我们可以表达 $C$ 为： $C = \frac{1}{13} - A - B$

将 $C$ 代入第二条方程，得到： $A + \frac{17}{13}B + \frac{11}{13}\left(\frac{1}{13} - A - B\right) = \frac{1}{13}$ $A + \frac{17}{13}B + \frac{11}{169} - \frac{11}{13}A - \frac{11}{13}B = \frac{1}{13}$ 整理得到： $A - \frac{11}{13}A + \frac{17}{13}B - \frac{11}{13}B = \frac{1}{13} - \frac{11}{169}$ $-\frac{2}{13}A + \frac{6}{13}B = \frac{169}{169 \cdot 13} - \frac{11}{169}$ $-\frac{2}{13}A + \frac{6}{13}B = \frac{169 - 11}{169 \cdot 13}$ $-2A + 6B = \frac{158}{169}$ $-2A + 6B = \frac{158}{169}$ $-2A + 6B = \frac{2 \cdot 79}{169}$ $-2A + 6B = \frac{2}{169} \cdot 79$ $-2A + 6B = \frac{158}{169}$

整理得到： $-2A + 6B = \frac{158}{169}$

然后从第三条方程中，得到： $A + B = \frac{1}{14}$

解这个联立方程组：

1. $A + B = \frac{1}{14}$
2. $-2A + 6B = \frac{158}{169}$

通过将第一个方程乘以2并代入第二个方程： $2A + 2B = \frac{2}{14}$ $2A + 2B = \frac{1}{7}$ $-2A + 6B = \frac{158}{169}$

将两方程相加： $2A + 2B - 2A + 6B = \frac{1}{7} + \frac{158}{169}$ $8B = \frac{1}{7} + \frac{158}{169}$

将1/7 转换为分数： $8B = \frac{169}{1183} + \frac{158}{169}$

解出： $B = \frac{169}{2 \cdot 169 \cdot 7} + \frac{158}{169 \cdot 2}$

由此得到 B，之后代入 A 可以求出 C.

所以乙独自完成的时间为: 1/B

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Questions

1. 甲、乙、丙的工作效率分别是多少？
2. 甲独立完成工程需要多少天？
3. 乙独立完成工程需要多少天？
4. 丙独立完成工程需要多少天？
5. 若丙休息4天，甲和乙合作多少天完成工程？
6. 若甲休息2天，乙和丙合作多少天完成工程？
7. 三人工作效率之和为什么？
8. 若增加一个丁，他的效率为C/2，四人合作多少天完成工程？

Tip

用线性代数的方法解工程类问题，能够快速有效的找到多个变量的解。