Para encontrar los valores de $a$ y $b$ en el triángulo $\triangle ABC$ donde conocemos los ángulos $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 80^\circ$, y uno de los lados, podemos usar la Ley de los Senos.

La Ley de los Senos establece que:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Dado que $c = 5$ y $\angle C = 80^\circ$, podemos encontrar $a$ y $b$ usando las proporciones de la Ley de los Senos.

Paso 1: Encontrar $a$

Sabemos que: $\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\sin 80^\circ}$

La función seno de $30^\circ$ y $80^\circ$ son: $\sin 30^\circ = 0.5$ $\sin 80^\circ \approx 0.9848$

Ahora sustituimos estos valores en la ecuación: $\frac{a}{0.5} = \frac{5}{0.9848}$ $a = \frac{5 \times 0.5}{0.9848}$ $a \approx \frac{2.5}{0.9848}$ $a \approx 2.54$

Paso 2: Encontrar $b$

Sabemos que: $\frac{b}{\sin 70^\circ} = \frac{5}{\sin 80^\circ}$

La función seno de $70^\circ$ es: $\sin 70^\circ \approx 0.9397$

Ahora sustituimos estos valores en la ecuación: $\frac{b}{0.9397} = \frac{5}{0.9848}$ $b = \frac{5 \times 0.9397}{0.9848}$ $b \approx \frac{4.6985}{0.9848}$ $b \approx 4.77$

Resumen de los resultados:

• $a \approx 2.54$
• $b \approx 4.77$

¿Te gustaría más detalles sobre estos cálculos o tienes alguna otra pregunta?

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Consejo:

Es útil memorizar las razones de seno, coseno y tangente para ángulos comunes como $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$, ya que facilitan la resolución rápida de problemas de trigonometría.