Solving a System of Linear Equations with Three Variables

Math Problem Statement

Selesaikan sistem persamaan linier tiga variabel berikut: a + b + c = 13.000 a + b + 3c = 27.000 2a + 3b + 3c = 37.000

Solution

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel berikut:

1. & \quad a + b + c = 13.000 \quad \text{(Persamaan 1)} \\ 2. & \quad a + b + 3c = 27.000 \quad \text{(Persamaan 2)} \\ 3. & \quad 2a + 3b + 3c = 37.000 \quad \text{(Persamaan 3)} \end{aligned}$$ Kita akan menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan sistem ini. ### Langkah 1: Eliminasi variabel $$c$$ Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2 untuk menghilangkan $$a + b$$: $$\begin{aligned} (a + b + 3c) - (a + b + c) &= 27.000 - 13.000 \\ 2c &= 14.000 \\ c &= 7.000 \end{aligned}$$ Jadi, $$c = 7.000$$. ### Langkah 2: Substitusi nilai $$c$$ ke dalam Persamaan 1 dan 2 Substitusikan $$c = 7.000$$ ke Persamaan 1 untuk menemukan nilai $$a + b$$: $$a + b + 7.000 = 13.000 \\ a + b = 6.000 \quad \text{(Persamaan 4)}$$ ### Langkah 3: Eliminasi variabel $$c$$ dari Persamaan 3 Substitusikan $$c = 7.000$$ ke Persamaan 3: $$2a + 3b + 3(7.000) = 37.000 \\ 2a + 3b + 21.000 = 37.000 \\ 2a + 3b = 16.000 \quad \text{(Persamaan 5)}$$ ### Langkah 4: Selesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua variabel $$a$$ dan $$b$$ Sekarang kita punya sistem persamaan linier: $$\begin{aligned} a + b &= 6.000 \quad \text{(Persamaan 4)} \\ 2a + 3b &= 16.000 \quad \text{(Persamaan 5)} \end{aligned}$$ Kita bisa menyelesaikannya dengan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan metode substitusi. Dari Persamaan 4, kita dapat menulis $$a$$ dalam bentuk $$b$$: $$a = 6.000 - b$$ Substitusikan $$a = 6.000 - b$$ ke dalam Persamaan 5: $$2(6.000 - b) + 3b = 16.000 \\ 12.000 - 2b + 3b = 16.000 \\ b = 16.000 - 12.000 \\ b = 4.000$$ Setelah menemukan $$b = 4.000$$, kita substitusi kembali ke Persamaan 4 untuk menemukan $$a$$: $$a + 4.000 = 6.000 \\ a = 2.000$$ ### Solusi Akhir Dengan demikian, solusi untuk sistem persamaan ini adalah: $$a = 2.000, \quad b = 4.000, \quad c = 7.000$$ Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lainnya? **Pertanyaan terkait:** 1. Bagaimana cara menggunakan metode determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier? 2. Apa yang terjadi jika sistem persamaan tidak memiliki solusi unik? 3. Bisakah kita menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan sistem ini sejak awal? 4. Bagaimana cara menggambarkan solusi sistem persamaan linier pada grafik? 5. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan homogen, dan bagaimana cara menyelesaikannya? **Tip:** Saat menyelesaikan sistem persamaan linier, penting untuk memeriksa solusi dengan substitusi kembali ke persamaan awal untuk memastikan keakuratan.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Linear Equations
Systems of Equations

Formulas

Linear combination methods
Substitution method
Elimination method

Theorems

Elimination theorem
Substitution theorem for systems of linear equations

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Solving System of Linear Equations: a + b + c = 0, 4a + 2b + c = -4, 9a + 3b + c = -18

Solving a System of Equations with Three Variables Using Elimination

Solving System of Linear Equations: a + 3b + c = 180000, 2a + 2b + 4c = 310000, a + 2b + 5c = 290000

Solving a System of Linear Equations with Three Variables