Math Problem Statement
Решить систему уравнений в поле F 5 ⎧ ⎨ ⎩ x 1 + 2 x 2 + 3 x 3
2 3 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3
2 x 2 + 2 x 3
4
Solution
Решим данную систему уравнений в поле (поле вычетов по модулю 5). Система уравнений выглядит следующим образом:
x_1 + 2x_2 + 3x_3 &\equiv 2 \pmod{5}, \\ 3x_1 + 3x_2 + 4x_3 &\equiv 2 \pmod{5}, \\ 2x_2 + 2x_3 &\equiv 4 \pmod{5}. \end{aligned}$$ ### Шаг 1: Упростим третье уравнение $$2x_2 + 2x_3 \equiv 4 \pmod{5}.$$ Разделим обе стороны на $$2$$ (в поле $$\mathbb{F}_5$$, обратный элемент к $$2$$ равен $$3$$, так как $$2 \cdot 3 \equiv 1 \pmod{5}$$): $$x_2 + x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Это упрощённая форма третьего уравнения: $$x_2 \equiv 2 - x_3 \pmod{5}.$$ ### Шаг 2: Подставим $$x_2$$ в остальные уравнения Подставим $$x_2 \equiv 2 - x_3$$ в первое и второе уравнения. **Первое уравнение:** $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Подставляем $$x_2$$: $$x_1 + 2(2 - x_3) + 3x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Раскрываем скобки: $$x_1 + 4 - 2x_3 + 3x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Упростим: $$x_1 + x_3 + 4 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Вычитаем $$4$$: $$x_1 + x_3 \equiv -2 \equiv 3 \pmod{5}.$$ Это первое упрощённое уравнение: $$x_1 \equiv 3 - x_3 \pmod{5}.$$ **Второе уравнение:** $$3x_1 + 3x_2 + 4x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Подставляем $$x_2 \equiv 2 - x_3$$: $$3x_1 + 3(2 - x_3) + 4x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Раскрываем скобки: $$3x_1 + 6 - 3x_3 + 4x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Упростим: $$3x_1 + x_3 + 6 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Вычитаем $$6$$: $$3x_1 + x_3 \equiv -4 \equiv 1 \pmod{5}.$$ Это второе упрощённое уравнение: $$3x_1 + x_3 \equiv 1 \pmod{5}.$$ ### Шаг 3: Подставим $$x_1$$ в упрощённое второе уравнение Подставим $$x_1 \equiv 3 - x_3$$ в $$3x_1 + x_3 \equiv 1$$: $$3(3 - x_3) + x_3 \equiv 1 \pmod{5}.$$ Раскрываем скобки: $$9 - 3x_3 + x_3 \equiv 1 \pmod{5}.$$ Упростим: $$9 - 2x_3 \equiv 1 \pmod{5}.$$ Вычитаем $$9$$: $$-2x_3 \equiv -8 \pmod{5}.$$ Приводим к положительным значениям: $$-2x_3 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Умножаем обе стороны на $$3$$ (обратный элемент к $$-2$$ в $$\mathbb{F}_5$$): $$x_3 \equiv 2 \cdot 3 \equiv 6 \equiv 1 \pmod{5}.$$ ### Шаг 4: Найдём $$x_1$$ и $$x_2$$ Подставим $$x_3 \equiv 1$$ в выражения для $$x_1$$ и $$x_2$$: $$x_1 \equiv 3 - x_3 \equiv 3 - 1 \equiv 2 \pmod{5},$$ $$x_2 \equiv 2 - x_3 \equiv 2 - 1 \equiv 1 \pmod{5}.$$ ### Ответ Решение системы: $$x_1 \equiv 2 \pmod{5}, \quad x_2 \equiv 1 \pmod{5}, \quad x_3 \equiv 1 \pmod{5}.$$ Если у вас есть вопросы или хотите больше объяснений, дайте знать! --- ### 5 связанных вопросов: 1. Как решать системы уравнений в других конечных полях, например, $$\mathbb{F}_7$$? 2. Что такое обратный элемент в конечном поле и как его находить? 3. Какие существуют методы для проверки решения системы уравнений в $$\mathbb{F}_p$$? 4. Каковы свойства систем линейных уравнений в конечных полях? 5. Как использовать матрицы для решения систем уравнений в конечных полях? --- ### Совет: Всегда проверяйте обратимость коэффициентов перед делением в конечных полях. Если коэффициент не обратим, возможно, поле было выбрано неправильно.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Finite Fields
Modulo Arithmetic
Systems of Linear Equations
Formulas
x ≡ a (mod m) solving
Inverse elements in finite fields
Substitution method for solving systems
Theorems
Properties of finite fields (modulo arithmetic)
Modular arithmetic inverse element theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics or Advanced High School (Grades 11-12)
Related Recommendation
Modular Arithmetic in GF(521): Addition, Subtraction, Multiplication, and Division
Arithmetic Operations in GF(521): Addition, Subtraction, Multiplication, and Division
Solve System of Linear Equations: 5x + 3y = 11 and x = 5y + 5
Solve the System of Linear Equations {x1+x2=5, x2+x3=-4, x3+x4=3, x1+x4=12}
Solving Systems of Linear Equations using Matrices: Row Operations for 5x - 2y = 5, 10x + 2y = 13