У нас есть система уравнений с модулями:

$|2x + 3y| = 5$ $|2x - 3y| = 1$

Для решения этой системы рассмотрим все возможные случаи, так как модули могут принимать разные значения в зависимости от знаков выражений внутри них.

Случай 1: $2x + 3y = 5$ и $2x - 3y = 1$

Решим эту систему уравнений:

1. $2x + 3y = 5$
2. $2x - 3y = 1$

Сложим оба уравнения:

$(2x + 3y) + (2x - 3y) = 5 + 1$ $4x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Подставим $x = \frac{3}{2}$ в одно из уравнений, например, в первое:

$2 \cdot \frac{3}{2} + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad 3 + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad 3y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{3}$

Итак, одно решение: $x = \frac{3}{2}$, $y = \frac{2}{3}$.

Случай 2: $2x + 3y = 5$ и $2x - 3y = -1$

Теперь решим систему:

1. $2x + 3y = 5$
2. $2x - 3y = -1$

Сложим эти уравнения:

$(2x + 3y) + (2x - 3y) = 5 + (-1)$ $4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

Подставим $x = 1$ в первое уравнение:

$2 \cdot 1 + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad 2 + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad 3y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 1$

Итак, второе решение: $x = 1$, $y = 1$.

Случай 3: $2x + 3y = -5$ и $2x - 3y = 1$

Решим систему:

1. $2x + 3y = -5$
2. $2x - 3y = 1$

Сложим оба уравнения:

$(2x + 3y) + (2x - 3y) = -5 + 1$ $4x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -1$

Подставим $x = -1$ в первое уравнение:

$2 \cdot (-1) + 3y = -5 \quad \Rightarrow \quad -2 + 3y = -5 \quad \Rightarrow \quad 3y = -3 \quad \Rightarrow \quad y = -1$

Итак, третье решение: $x = -1$, $y = -1$.

Случай 4: $2x + 3y = -5$ и $2x - 3y = -1$

Решим систему:

1. $2x + 3y = -5$
2. $2x - 3y = -1$

Сложим оба уравнения:

$(2x + 3y) + (2x - 3y) = -5 + (-1)$ $4x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2}$

Подставим $x = -\frac{3}{2}$ в первое уравнение:

$2 \cdot (-\frac{3}{2}) + 3y = -5 \quad \Rightarrow \quad -3 + 3y = -5 \quad \Rightarrow \quad 3y = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{2}{3}$

Итак, четвертое решение: $x = -\frac{3}{2}$, $y = -\frac{2}{3}$.

Итог

Решения системы:

1. $x = \frac{3}{2}$, $y = \frac{2}{3}$
2. $x = 1$, $y = 1$
3. $x = -1$, $y = -1$
4. $x = -\frac{3}{2}$, $y = -\frac{2}{3}$

Хотите подробности по каждому случаю или есть другие вопросы?

Вот 5 вопросов для дальнейшего углубления:

1. Как можно проверить, что каждое решение действительно подходит к исходной системе?
2. В чем разница между методами сложения и вычитания при решении систем уравнений?
3. Как решить систему уравнений с модулем, если у нас есть больше переменных?
4. Как графически изобразить решения этой системы на координатной плоскости?
5. Что происходит, если одно из уравнений системы не содержит модуля?

Совет: Для систем с модулями важно рассматривать все возможные комбинации знаков, так как модули делают возможными различные варианты решений.